不動点理論と変換群論の研究

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コンパクトLie群Gが作用する多様体上のG不変な実数値関数に対して、その臨界軌道、臨界値、臨界軌道型などの個数の下限を求めた。Gの作用がない場合に、臨界点や臨界値の個数の下限を求めることは、カテゴリー論を使って古くから多くの研究がなされてきた。Gの作用を考慮に入れた同変臨界点論においては、臨界点は臨界軌道となり、さらにその軌道型は何種類あるかという新たな問題が生じてくる。同変臨界点論のこれまでの研究では、同変カテゴリー論やideal‐valued indexを使った方法が一般的であった。しかしこれでは臨界点がどのような軌道型をもつかという問題に関しては何ら情報を得ることができなかった。それで本研究においては、これらの情報をも含む不変量としてset‐valued genus定義した。この不変量を使って次のような結果を得た。1.臨界軌道や臨界点の個数の下限を求めた。2.与えられた軌道型が臨界軌道型となるための十分条件を求めた。3.臨界軌道型の個数の下限を求めた。4.臨界軌道型の個数のが少なくなれば、臨界点の個数は多くなり、逆に臨界点の個数が少なくなれば臨界軌道型の個数は多くなるという関係を発見した。この1.に関してはカテゴリー論やideal‐valued indexを使って、これまでにも多くの結果が知られていた。2.に関してもいくつかの結果が知られていたが、本研究によってこれらの結果を特別な場合として含む、より一般的な結果が得られた。3.と4.に関しては本研究によって初めて得られた新してタイプの研究成果である。