多様体と群作用の研究

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GをコンパクトLie群とする。Gの線形表現空間【R^n】のG不変な開集合の G-retractとなるG空間をG-ENRという。XをそのG-ENRとする。Gの部分群Hに対し、Xの部分空間【X^((H))】をアイソトロピー群の共役類がHの共役類より大きいか等しい点の全体とする。これはG不変な部分空間である。G写像f:X→Xに対し,これを【X^((H))】に制限することによりG写像【f^((H))】:【X^((H))】→【X^((H))】が得られる。これらの写像の不動点指数ind(【f^((H))】)について考察した。組合せ理論におけるメービウス関数およびメービウス反転公式の援用により,種々のHに対するind(【f^((H))】)の関係式、とくに合同式を求めた。この結果はLefschetz数やEuler標数に関する古くからの結果を大きく一般化するものである。またこの研究による結果より、合成写像の不動点指数に関する合同式や古典的なBorsuk-Ulamの定理の一般化も得られた。この研究においては組合せ理論の応用が有効な役割を果した。変換群論の研究に組合せ理論を応用したのはこの研究が初めてである。不動点指数の研究に限らず変換群論の他の研究にも組合せ理論を応用することにより,今後の研究に新たな展開が期待できる。