差集合とassociation schemeの関連性の研究

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差集合およびHadamard行列とassociation schemeの間の関係は、これまでは一般論として論じられていたが、研究代表者はZ/4Zの拡大環上で、amorphous association schemeが存在し、それとHadamard差集合との関係を明らかにして、これらの間の具体的な関係を示した。最近になってHadamard行列、association schemeがspin modelを通して、linkの不変量に関係することが明らかになった。最初にspin modelからlinkの不変量が求まることを示したのはJonesである。このspin modelの概念は宗政-綿谷(北大)により非対称な場合に拡張されたが、坂内はこの概念をさらに拡張した。すなわち、4つの正方行列でいくつかの条件をみたすものを拡張したspin modelと呼び、新しいlinkの不変量が得られる可能性を示した。4つの行列のうち2つが等しいとき、宗政-綿谷によるspin modelにさらに対称であるとき Jonesによるものに一致する。拡張したspin modelの中でHadamard行列に関係するものを特にHadamard型と名づけた。この場合のspin modelを与えるHadamard行列は正則である。1985年にA.A.Ivanor-I.V.Chuvaeraにより4n次Hadamard行列から、クラス4のamorphous association schemeが得られることが証明された。さらにこのassociation schemeから16n^2次正則Hadamard行列、Hadamard差集合が得られる。これを使って、もとのHadamard行列がHadamard行列のある同値類に含まれていれば amorphous association schemeを通して得られるHadamard行列はspin modelとなることが証明できた。以上のように本研究で、Hadamard差集合とassociation schemeの関係をspin modelを構成するという立場から考えるという新しい視点を得た。この研究を今後も進展させたい。