アーベル多様体のモジュライの研究

モジュラー群Sp_<2g>(Z)=Γ_g(1)は、次Siegel上半空間IH_gに作用する。モジュラー群の合同部分群Γによる商空間IH_g/Γを、Γに関するアーベル多様体のモジュライと言うのである。我々の研究目標は、これらモジュライの構造を明らかにすることである。モジュライを研究する手段として、所謂Riemannのテータ定数V[0^^a](z)(a∈Q)を用いるのが我々の手法である。そこで取扱われる合同部分群は、レベル(2,4)付の群Γ_g(2,4)である。Θ_g:IH_g/Γ_g(2,4)→IP^n(n=2^g-1)をz∈IH_gに対し、比(…,V[0^^a](2z),…)(a∈1/2/Z)を対応させる写像とする。超楕円曲線のJacobi多様体のなす部分多様体に制限すると、Θ_gは単射である。これが従来の成果であった。この結果よりΘ_2,Θ_3の単射性が導かれた。IH_2/Γ_2(2,4)の佐武コンパクト化が、3次元射影空間IP^3と同形であることが、今回新しく得られた結果である。その結果を用いることにより、既にIgusaによって得られていることであるが、Siegelモジュラー形式の次数環A(Γ_2(2,4))の生成元が容易に得られる。IH_3/Γ_3(2,4)の佐武コンパクト化は、7次元射影空間IP^7の次数16の超曲面であることは分かる。これを利用し次数環A(Γ_3(2,4))の構造を調べているがまだ成功していない。レベル2のモジュライIH_g/Γ_g(2)のなかで、超楕円曲線のJacobi多様体全体のなす部分多様体では、連結成分と既約成分が一致することがΘ_gの"単射性"の証明に用いた事を利用して示された。

モジュラー群Sp_<2g>(Z)=Γ_g(1)は、次Siegel上半空間IH_gに作用する。モジュラー群の合同部分群Γによる商空間IH_g/Γを、Γに関するアーベル多様体のモジュライと言うのである。我々の研究目標は、これらモジュライの構造を明らかにすることである。モジュライを研究する手段として、所謂Riemannのテータ定数V[0^^a](z)(a∈Q)を用いるのが我々の手法である。そこで取扱われる合同部分群は、レベル(2,4)付の群Γ_g(2,4)である。Θ_g:IH_g/Γ_g(2,4)→IP^n(n=2^g-1)をz∈IH_gに対し、比(…,V[0^^a](2z),…)(a∈1/2/Z)を対応させる写像とする。超楕円曲線のJacobi多様体のなす部分多様体に制限すると、Θ_gは単射である。これが従来の成果であった。この結果よりΘ_2,Θ_3の単射性が導かれた。IH_2/Γ_2(2,4)の佐武コンパクト化が、3次元射影空間IP^3と同形であることが、今回新しく得られた結果である。その結果を用いることにより、既にIgusaによって得られていることであるが、Siegelモジュラー形式の次数環A(Γ_2(2,4))の生成元が容易に得られる。IH_3/Γ_3(2,4)の佐武コンパクト化は、7次元射影空間IP^7の次数16の超曲面であることは分かる。これを利用し次数環A(Γ_3(2,4))の構造を調べているがまだ成功していない。レベル2のモジュライIH_g/Γ_g(2)のなかで、超楕円曲線のJacobi多様体全体のなす部分多様体では、連結成分と既約成分が一致することがΘ_gの"単射性"の証明に用いた事を利用して示された。