代数的数体における構造不変量の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

平方因子を含まない任意の正の整数Dに対して、我々はさきに2次体Q(√<D>)の新しい不変量m_Dと(a_D,b_D)を以下のようにして定義した。まず A_D={a:0≦a<D,a^2≡4Nε_D(mod D)},(A,B)_D={(a,b):a∈A_D,a^2-4Nε_D=bD}と置く。ここでε_Dは実2次体Q(√<D>)の基本単数であり、基本単数ε_D=(t_D+u_D)/2>1 よって定まる既知の不変量t_D,u_Dとの間の関係式 t_D=Dm_D+a_D,u_D^2=Dm_D^2+2a_Dm_D+b_D を満たす非負整数m_Dと、(A、B)_Dの元(a_D,b_D)として一意的に定義することができた。今回は、これらの新不変量を使って,不定方程式x^2-Dy^2=±2 が整数解をもつための条件とその整数解を具体的に与えることができた。すなわち、x^2-Dy^2=2 が整数解をもつためには(a_D,b_D)=(2,0) が必要かつ十分であり、その最小整数解は (x,y)=(√<Dm_D/2+2>,√<m_D/2>)。一方、x^2-Dy^2=-2 が整数解をもつためには(a_D,b_D)=(D-2,D-4) が必要かつ十分であり、その最小整数解は (x,y)=(√<Dom_D/2-2>,√<(m_D+1)/2)> である。そのほか、集合論のプール代数値モデルおける超構造から、超準宇宙を構成する方法を確立することができた。また、リスク鋭感的確立制御問題に対応するベルマン方程式の解の存在を示し、値関数が爆発しないための条件を示し得た。 さらに、加法過程の強過渡性、弱過渡性の判定条件を、特性関数の挙動によって与えることもできた。