有限体上の代数曲線論のcoding theoryへの応用

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代数曲線Xの点Pについて,Weierstrass semigroup H(P):={α∈N_0|∃f∈K(X)with(f)∞=αP}のN_0での補集合をG(P)と表し,その元をgapとよぶ。gapsの個数^#G(P)はどの点Pに対しても,Xのgenusに等しい。これがWeierstrass点の理論の1出発点であった。さて、X上の相異なる2点P,Qに対してH(P)と同様なsemigroupを考えたらどのような理論ができるであろうか?すなわち,H(P,Q):={(α,β)∈N_0×N_0|∃f∈K(X)with(f)∞=αP+βQ}としてG(P,Q):=N_0×N_0＼H(P,Q)を考えるわけである。この場合にはすでに^#G(P,Q)自体がXを固定しても一定にならない。この対象について扱っている文献はE.Arbarello et al.,Geometry of Algebraic curvesを除いては皆無であったが,最近Seon Jeong Kimはこれについて以下のような結果を得た。G(P)={l_1<l_2<…l_g},G(Q)={l′_1<l′_2<…l′_g}と表す。各l_iに対し,整数min{β|(l_i,β)∈H(P,Q)}はQに於けるgapとなることがわかる。これをl′_<σ(i)>で表す。この対応σは{1,2,…,g}の置換となり、^#G(P,Q)=Σ^^g__<i=1>l_i+Σ^^g__<i=1>l′_i-1/2g(g-1)+Σ^^g__<i=1>h^1(l_iP+l′_<σ(i)>Q)なる公式が成り立つ。当該科学研究費補助金による研究によって、我々は,^#G(P,Q)はP及びQのgap列とσだけから^#G(P,Q)=Σ^^g__<i=1>l_i+Σ^^g__<i=1>l′_i-(σの反転の数)というような記述ができるという結果を得た。当然,(σの反転の数)【less than or equal】1/2g(g-1)であるがこれが等号をとる場合の幾何学的記述も本研究による新しい知見である。