双対化複体の存在性とCohen-Macaulay化に関する研究

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双対化複体を持つ環は、有限次元Gorenstein環の準同型像になるかというSharp予想については、(半)局所環でnon-Cohen-Macaulay locusの次元が1以下の場合と、それを用いてKrull次元が5以下の場合に判明していたので、強等次元の(半)局所環でnon-Cohen-Macaulay locusが2次元の場合を中心課題にして研究を進めて来た。まず、1次元の場合の手法の分析をし、幾何的Cohen-Macaulay化を得るためにblowing-upを2段階に分けて行う様子を調べた。また、その結果を代数的なものへ移行させる有限生成局所コホモロジーの結果の使用法を点検した。その結果として、いかなる状態で幾何的Cohen-Macaulay化が達成されなければならないがある程度解明された。またその際、Sharp予想の証明のためには、少し弱い型のganeralized Cohen-Macaulay化で充分であることも判った。即ち、その様な幾何的なものが得られれば、代数的なものへ移行させる過程を示す事ができるのである。どの様な状況での幾何的なものであるかについては、まず有限生成局所コホモロジーの結果が応用できるものを中心として第一段階のblowing-upを行う。そして構造層の局所コホモロジーの連接性あるいは零化イデアルを調べ、そこから中心を選び更にblowing-upを行い、同様のことを調べる訳である。この連接性あるいは零化イデアルに関する部分が1次元のときには現れなかった非常に困難なところである。一般の場合に、ここの状態を解明するには、調べなければならないことがまだ多くあるので、今のところnon-Cohen-Macaulay locusが2次元であることよりも強いSerreの条件とそれから外れるところでの次元の条件として何が必要かを調べ、その仮定の下で研究を続けている。この場合に適切な処理を行い、一般の場合に拡張するのがこれからの課題である。