双対化複体の存在性とそれに関連する研究

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双対化複体の極小自由分解をとることにより,そこに現われる自由加群の階数としてBass numberが記述される。特に,次元次のBass numberであるtypeと次元未満のBass numberの交代和との関係が得られる。このことを利用して,次の結果を得ることが出来た。nを3以上の整数Aを局所環とする。Aのtypeがnで,Aの完備化がSerreの条件(Sn-1)をみたせば,AはCohen-Macaulayである。Gorenstein環は,type1のCohen-Macaulay環として特徴付けられるが,type1であることよりCohen-Macaulay性が導かれることをP.Robertsが示した。Marleyはtype2のunmixed局所環はCohen-Macaulayであることを示し,上記結果を問題として提出した。これに対し,川崎が,階数の交代和を評価するBrunsの定理を使い,体を含む局所環の場合に証明した。そして,体を含むとは限らない一般の場合にも成立することを示したのが,上述の結果である。双対化複体を持つ環はGorenstein環の準同型像になるか,またこれと深く関係するCohen-Macaulay化の問題については,その困難さが強く認識され,実質的な進展は得られなかった。双対化複体を持ち等次元である様な準射影スキームのCohen-Macaulay化がN.T.Cuongにより得られたとの情報があり,Preprintも出回った。但し,その信憑性には疑義があった。幸いにして,Cuong氏が1993年8月に来日され,その折に関連地区の大学においてセミナーを持つことが出来た。そのときに,証明に重大な欠陥があることが判明し,その後反例のあることも判ったとのことである。しかしながら,FaltingsのCohen-Macaulay化の手法,本研究代表者を含む共同研究によるnon-Cohen-Macaulay locusが1次元以下の場合,Cuongによるnon-Cohen-Macaulay locusの次元の評価等があり,これらを分析し,発展させ,Cohen-Macaulay化の問題に今後も積極的に取組むべきであると認識される。