結び目の幾何

研究目的・研究実施計画にもとずいて研究代表者は次のような成果を得た。1.ある局所的変形の有限回操作により結び目が自明な結び目に変形できるときに、この変形を一般化した結び目解消操作と呼ぶ。既知の一般化した結び目解消操作を局所同値で分類した。こうした研究は、最近話題になっている統計物理・位相量子群論との関連において有効なアプローチのひとつといえる。この結果は出版された。2.結び目の不変量としてAlexander多項式は大きな役割を担っており、その係数は特徴付けられている。そこで、2 bridged knotsという幾何学的特徴を持つときにどのような制限が加わるのかを研究した。既知の事実として、係数の符号が正負が交互に現われること、係数の絶対値が中央に向かい増大することがある。この係数の増大の仕方について評価式を与えた。3.樹下・寺坂により、ユニオンが非自明であることが示され、より一般的に渋谷により、非自明な結び目の非自明なユニオンは素である、と示された事実をより一般的な設定のもとでタングルによる幾何構造の分析により示した。また、このときの除外例を具体的に示した。これらの結果は受理されている。4.与えられた結び目に対して、同型な結び目全ての正則射影図全てのなかで自明な結び目の正則射影図を得るのに要する結び目解消操作の最小数を、結び目解消数と呼ぶ。交差数最小の正則射影図ならば適切な一回の結び目解消操作で結び目解消数がより小さい結び目の正則射影図になるかとの予想に対して、unknotting number one,2 bridge knotsのときは正しいことを示した。この結果は現在投稿準備中である。また、研究分担者もそれぞれの役割に従い、結び目の構造を位相的・幾何的・解析的に、また他分野との関連において研究を行なった。

研究目的・研究実施計画にもとずいて研究代表者は次のような成果を得た。1.ある局所的変形の有限回操作により結び目が自明な結び目に変形できるときに、この変形を一般化した結び目解消操作と呼ぶ。既知の一般化した結び目解消操作を局所同値で分類した。こうした研究は、最近話題になっている統計物理・位相量子群論との関連において有効なアプローチのひとつといえる。この結果は出版された。2.結び目の不変量としてAlexander多項式は大きな役割を担っており、その係数は特徴付けられている。そこで、2 bridged knotsという幾何学的特徴を持つときにどのような制限が加わるのかを研究した。既知の事実として、係数の符号が正負が交互に現われること、係数の絶対値が中央に向かい増大することがある。この係数の増大の仕方について評価式を与えた。3.樹下・寺坂により、ユニオンが非自明であることが示され、より一般的に渋谷により、非自明な結び目の非自明なユニオンは素である、と示された事実をより一般的な設定のもとでタングルによる幾何構造の分析により示した。また、このときの除外例を具体的に示した。これらの結果は受理されている。4.与えられた結び目に対して、同型な結び目全ての正則射影図全てのなかで自明な結び目の正則射影図を得るのに要する結び目解消操作の最小数を、結び目解消数と呼ぶ。交差数最小の正則射影図ならば適切な一回の結び目解消操作で結び目解消数がより小さい結び目の正則射影図になるかとの予想に対して、unknotting number one,2 bridge knotsのときは正しいことを示した。この結果は現在投稿準備中である。また、研究分担者もそれぞれの役割に従い、結び目の構造を位相的・幾何的・解析的に、また他分野との関連において研究を行なった。