結び目・絡み目の不変量と多様体の構造の研究

研究目的・研究実施計画にもとづいて研究代表者は次のような成果を得た。1.結び目の不変量としてAlexander多項式は大きな役割を担っており、その係数は既に特徴付けられている。そこで、結び目が2bridged knotsという幾何学的構造を持つときにAlexander多項式の係数にどのような制限が加わるのかを研究した。既知の事実として、係数の符号に正負が交互に現われること、係数の絶対値が中央に向かうほどに大きくなることがある。この係数の増大の仕方について評価式を与えた。ファイバーであるとの条件をさらに加えての評価式はあったが、一般のときには新しい知見である。また、このような評価式をどのように与えても必要十分条件とはならないことも示した。2.ある局所的な変形の有限回の操作により任意の結び目が自明な結び目に変形できるときにこの局所的な変形を一般化した結び目解消操作と呼ぶ。既に知られている一般化した結び目解消操作を整理するために、これらの局所的な変形を局所同値で分類した。また、ひとつを除いて、それぞれの一般化した結び目解消操作が導く絡み目の同値関係を成分数と成分の間の絡み数のことばで表現した。残るひとつについては、こうしたホモロジー群のことばでは表現が不可能であることも示している。こうした一般化した結び目解消操作の研究は、最近話題になっている統計物理・位相量子群論との関連において有効なアプローチのひとつといえる。これらの結果は現在投稿中である。また、研究分担者もそれぞれの役割に従い、結び目・絡み目・多様体の構造を位相的・幾何的・解析的に、また多分野との関連において研究を行なった。

研究目的・研究実施計画にもとづいて研究代表者は次のような成果を得た。1.結び目の不変量としてAlexander多項式は大きな役割を担っており、その係数は既に特徴付けられている。そこで、結び目が2bridged knotsという幾何学的構造を持つときにAlexander多項式の係数にどのような制限が加わるのかを研究した。既知の事実として、係数の符号に正負が交互に現われること、係数の絶対値が中央に向かうほどに大きくなることがある。この係数の増大の仕方について評価式を与えた。ファイバーであるとの条件をさらに加えての評価式はあったが、一般のときには新しい知見である。また、このような評価式をどのように与えても必要十分条件とはならないことも示した。2.ある局所的な変形の有限回の操作により任意の結び目が自明な結び目に変形できるときにこの局所的な変形を一般化した結び目解消操作と呼ぶ。既に知られている一般化した結び目解消操作を整理するために、これらの局所的な変形を局所同値で分類した。また、ひとつを除いて、それぞれの一般化した結び目解消操作が導く絡み目の同値関係を成分数と成分の間の絡み数のことばで表現した。残るひとつについては、こうしたホモロジー群のことばでは表現が不可能であることも示している。こうした一般化した結び目解消操作の研究は、最近話題になっている統計物理・位相量子群論との関連において有効なアプローチのひとつといえる。これらの結果は現在投稿中である。また、研究分担者もそれぞれの役割に従い、結び目・絡み目・多様体の構造を位相的・幾何的・解析的に、また多分野との関連において研究を行なった。