無限次元空間の測度論とその応用

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研究代表者下村が、本年度かかわったテーマは「測度から生成される表現の同値性」の問題である。つまり(X,B,μ)を確率空間として、そこへ群Gがg∈G:x→gx,o形でbimeasurallc mapとして作用している状況を考え、μは変換群Gに関して、準不変であるとする。すなわち、μのgによるimage meagure μg:=μog^<-1>がμと同値であると仮定する。Radon-Nikodim derivativeを(dμg)/(dμ)で表そう。すると、表現空間をL^2μ(X)にもつ群Gのユニタリ表現VμがVμ:f(x)EL^2μ(X)→√<(dμg)/(dμ)>(x)f(g^<-1>x)EL^2μ(X)として定義される。Vμをμから生成される標準表現と呼ぶ。Vμの同値性を測度μに関して調べる問題に以下のような状況で取り組んだ。(1)Xが配位空間(Configuretion Spcce)で、μはPoisson measure、ないしはそれを少し変形したもの、そしてGはbasic mamifollのコンパクトSupportをもつdiffcomorphismのなす群(2)Xは無限次元の局所凸位寸同線型空間、Gは平行移動のなす群で、μは平行移動準不変測度得られた結果は、(1)については、VμとVμ′の同値性からμとμ′の同値性が従うという、ほゞ満足すべき成果を得た。その詳しい内容は後述の形に掲載された。また(2)については、現在進行中であるが、表現のスパクトルmecsureとmultiplicityの双方で考慮せねばならず、簡単な結果は得られそうにない。が特に測度をエルゴデイクにしぼると、VμとVμ′の同値性はスペクトルmeasureの同値性に帰着できそうな雰囲気である。確定的な結果がまとまり次第、しかるべき所で、口頭及び論文の形で発表する予定がある。