数理物理に現れる偏微分方程式の解の形の研究

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非線形偏微分方程式の解の漸近挙動の研究において解の"形"に力点をおいて解析を試みた。解の形を捉えるため、パラメータの入った方程式系の解で、或るノルムに関して非有界な解の族の存在を仮定して解析を試みた。考えた方程式は(1)半線形楕円型方程式(2)半線形熱方程式(3)非線形シュレディンガー方程式である。1 半線形楕円型方程式(非線形項がべき型)爆発点の近傍で、解が上と下から普遍関数で評価されることを示した(研究発表の伊藤の論文の定理)。2 半線形熱方程式(非線形項がべき型)爆発点の集合のハウスドルフ次元を、上から空間次元、べき指数、及び爆発ノルムの指数を用いて評価した(投稿準備中)。3 非線形シュレディンガー方程式の場合(ポテンシャルが有る場合で非線形項がべき型)準古典近似解にconcentation(凝集)の現象が見られることが分かった(ICM94のポスターセッションで発表、投稿準備中)。また現在concentation(凝集)点の特徴付けを試みている。研究分担者楢崎は領域が時間とともに変化する場合に或る種の発展方程式の解の存在と漸近挙動を論じた(研究発表の楢崎の論文)。研究課題の解の形の研究という視点から次の問題に展開した。局所解の存在が分かっている場合の解の接続で特異性が現れる場合の具体的な発展方程式の例を見つけること及びその場合の解の形の解析。これは今後の課題として残った。