半線形楕円型方程式の定性解析-安定性が導く新潮流-

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究課題は, 一般の半線形楕円型方程式に対し, 解の安定性を用いて, 関連する定性的性質を導出することを目的としている. 研究課題一・二年目では, 冪乗型の非線形項を有する具体的に設定した半線形楕円型方程式を対象に, 解の安定性・不安定性に関して解析を行った. 研究課題の最終年度となる本年度では, これまでの研究で得られた結果の一般化として, より非線形項を一般化した方程式を対象に, 解の安定性や関連する性質に関する研究を行った. 具体的には, 非コンパクトなリーマン多様体を対象に次の二点を扱った.1. 指数関数的な非線形項をもつ半線形楕円型方程式の動径対称解の安定性と層構造2. より一般の非線形項をもつ半線形楕円型方程式の特異解の存在と漸近挙動以下では, 特に1の研究の内容について説明する.1について, 非コンパクトなリーマン多様体を対象とした先行研究では, Lane-Emden方程式やHenon方程式などの冪乗型の非線形項をもつ半線形楕円型方程式に関する解析が多かった. 一方で, 指数関数的な非線形項をもつ半線形楕円型方程式に対しては, ユークリッド空間の場合と比較して, 非コンパクトなリーマン多様体上ではほとんど研究がなされていない. 本研究では, 非コンパクトなリーマン多様体上の指数関数的な非線形項をもつ半線形楕円型方程式に対し, 研究課題一・二年目で得られた手法を応用して, 主に動径対称解の層構造に関する研究を行い, 部分的な結果を得ることに成功した. 具体的には, 次元が10次元以上では動径対称解は層構造をなしており, また次元が十分小さい場合でも部分的な層構造が成立しているという結果を得られた. 次元が9以下の場合に関しては, 層構造に関して完全な結果を得られていないため, 今後も研究を続けていく予定である.