代数多様体の数論の研究

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主に半安定還元定理とそれに関係した問題について考えた.局所体上の代数多様体に対し,その基礎体を有限次拡大すれば,整数環上に半安定なモデルをもつかというのが問題である.曲線の場合には安定還元定理は以前から知られているが,その応用としてGL(2)の保型形式に伴うl進表現について考えた.この表現を表数pでの分解群に制限したとき,p≠lならそれが局所Langlands対応で得られるものになることが,Carayolによって示されていた.l=pのときもp進Hodge理論の意味でそうなっていることが,安定還元定理を使って,p≠lの場合に帰着することにより証明できることがわかった.半安定還元定理がなりたてばその帰結として,コホモロジーへの惰性群の作用を幾何的に表すことができる.しかし1995年de Jong氏は,半安定還元定理の代わりにもう少し弱い結果を示すことにより,同様の結果を得た.彼の方法を精密化することにより,惰性群の元やフロベニウスのl進コホモロジーへの作用のトレースがlによらないであろうという古典的な予想が,少なくとも曲面の場合には証明できることがわかった.剰余体の標数が0の場合には半安定還元定理が成り立つことが,以前からMumfordらによって示されていたが一般の場合にも,もともと多様体が整数環上にlog smoothなモデルをもてば同じ方法で証明できることが,大学院生の吉岡君の研究でわかった.多様体をK3曲面と限った場合について半安定還元定理の証明について考えた.適当な仮定の下に,これは有理曲面上の因子の問題に帰着されることがわかったが,まとまった成果は得られなかった.これについては今後も研究を続けたい.