C^3のMoishezonコンパクト化について

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C^3の非射影的、非特異Moishezonコンパクト化(X,Y)で第二ベッチ数b_2(X)=1なるものの決定に取り組んだ。今、境界因子Yがnefの時、Xからsmall Gorenstein特異点のみを持つindex γ【less than or equal】2、ピカ-ル数ρ(V)=1のFano threefoldVへのsmall birational contraction ψ:X→Zがあることは知られている。本研究に於いて、特に、index γ=2の場合にこのような(X,Y)およびψ:X→V、A:=ψ(Y)の構造を完全に決定できた。得られた結果は次ぎのとおり:定理.(V,A)=^^〜(V_4,H_4),但し、V_4はP^5における2つのquadricsのcomplete intersection でただ一つのsmall Gorenstein singularity pをもち,またH_4⊂P^4はP^3内の4次のnodal rational curve上のnon-normal projective coneで特に、特異点pはcone H_4の頂点である。さらに、ψ:X→V_4を特異点pのsmall resolutionとし、C:=ψ^<-1>(p)とおくと、Cはsmooth rational curveでそのnormal bundleはN_<C|X>=^^〜O_<P1>(-2)【symmetry】O_<P1>となる。その証明の過程で、non-normal del Pezzo曲面およびそのnormalization,minimal resolutionの構造も解明した。残る、index γ=1の場合、そのような、Moishezonコンパクト化(X,Y)が存在するか否か現在のところ不明であるが、有力な候補となる例を最近見つけたので、この例について引き続き詳細に研究して行く予定である。