円板上での一般的カ-ルソンの不等式の研究

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単位開板D上の二つの正のBorel測度ν,μが(ν,μ)-Carleson不等式を満たすとは、ある定数Cが存在して、全てのf←Pに対して∫_D|f|^2dν【less than or equal】C∫_D|f|^2dμが成立することである。ここでPは解析的多項式の全体である。この研究では、dμ=udmかつmがD上のarea measureのときに一つの十分条件を与えた。すなわちν_r(a)×u^<-1>_r(a)【less than or equal】γ(a←D)ならば、(ν,μ)-Carleson不等式が正しいことを示した。ここで、ν_r(a)とu^<-1>_r(a)はそれぞれa中心とする半径rのBergman円板上での平均を示している。だからu^<-1>が調和関数ならばu^<-1>_r(a)=u(a)^<-1>である。必要条件を与えるために、一つの量ε_r(μ)を定義した。常にε_r(μ)【less than or equal】1かつε_r(ν)【less than or equal】1であるが、ε_r(μ)<1またはε_r(ν)→0(r→0)のときに、(ν,μ)-Carleson不等式が正しいならば、ν_r(a)【less than or equal】γμ_r(a) (a←D)となるγが存在する。Muckenhouptの円周上のA_2-条件のPoisson核を用いたものの、アナロジーとして円板上に(A_2)∂-条件を導入した。もしuが(A_2)∂-条件を満足するならば、(ν,μ)-Carleson不等式が成立する必要十分条件はν_r(a)【less than or equal】γμ_r(a)(a←D)となるγが存在することであることを証明した。