エクサスケーラブルな大規模連立一次方程式の前処理としてのFMMの代数学的拡張

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次世代計算機上で既に性能が出ると分かっている階層的 N 体アルゴリズムを出発点にとり，それを任意の連立一次方程式を扱えるソルバへと徐々に拡張した．平成27年度には，Poisson 方程式しか解くことのできない現在の FMM を Helmholtz 方程式や Stokes 方程式へと拡張し，流体解析のみならず構造・電磁場・音響解析へも適用できるようにした。また、それぞれの方程式を同等の計算条件，計算機環境の下で multigrid 法やHSS行列と直接比較し，いままでやられてこなかった手法間の定量的な優位性の評価を行った．Multigrid 法との比較においては Poisson 方程式に比べ Helmholtz 方程式は FMM の優位性が顕著であった．これは Helmholtz 方程式が高周波を含む場合に multigrid 法の収束性が著しく低下するのに対して，FMM の収束性がさほど低下しないことが原因である．HSS行列との比較ではセットアップのオーバーヘッドが小さい FMM が HSS に比べて合計の計算時間で有利になるという結果が得られた．特に２次元 Laplace 方程式においてその差は顕著で FMM が約1000倍高速であった．スケーラビリティのベンチマークにおいては FMM は Cray XC40 の 131,072 コアを用いた計算で良好な並列化効率が得られ，4000億点規模の計算を数秒で行うことができた．これは，FMM の計算としては世界最大規模であり，最速の計算でもあると思われる．