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Sobolev-Orlicz embedding theorems for Dirichlet spaces and their probabilistic interpretation

Dirichlet 空间的 Sobolev-Orlicz 嵌入定理及其概率解释

基本信息

批准号：
21K20326
负责人：
森隆大
金额：
$ 2万
依托单位：
Kyoto Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-08-30 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2022年度ではrandom interlacementに関する研究を2021年度に引き続き行った. 複数の独立なマルコフ過程の軌跡が交差した量を測るintersection measureや, その本数が1本の場合に相当する滞在測度は時間tまでの情報によるために定常性がない一方で, random interlacementと呼ばれる対象は時間無限大までの軌跡をランダムにサンプルする確率場であるため定常性を持つ. 2021年度ではrandom interlacementをDirichlet空間の一般論の視点から考察し, 反射Dirichlet空間や周遊理論との関係性を調べたが, 2022年度では具体例としてNewton容量や対数容量およびそれらの平衡測度を, それぞれ対応する反射マルコフ過程の滞在確率および到達分布で表現することができた. 新規性のある例として, 半平面上のレヴナー微分方程式を構成する際に現れる半平面容量についても同様な結果を得た.今後の展開として, まずp本の独立なマルコフ過程の軌跡のintersection measureについて, マルコフ過程をrandom interlacementに変えたものを反射Dirichlet空間や周遊理論を使って構成する. 先行研究である[Jay Rosen (2014)]では, マルコフ過程のグリーン関数を共分散に持つガウス自由場のp次ウィック積で作られる確率場と, random interlacementのp重点に関するself-intersection local timeから作られる確率場との関係を表す同型定理が示されている. 本研究でも類似の結果が得られないかを考察したい. さらに, ガウス自由場のウィック積をOrlicz空間の解析に使われる道具で一般化することで無限個のマルコフ過程に対するintersection measureとの関係を探る.

2022 random interlace research 2021 random interlace The trajectory of a complex independent process has an intersection measurement, the number of which is 1. In this case, the information corresponding to the delay time t is invariant. On the other hand, the random interpolation is invariant. In 2021, the general theory of random interlace in Dirichlet space was investigated, and the relationship between the theory of reflection Dirichlet space and the theory of rotation was adjusted. In 2022, the specific example was Newton capacity, number capacity and equilibrium measure. For example, a new property is obtained by constructing a differential equation on a half-plane and obtaining the same result as the capacity of the half-plane. In the future, the theory of Dirichlet spatial travel is formed by the intersection measurement of independent processes, random interconnections and reflections. A preliminary study [Jay Rosen (2014)] shows that the relationship between the number and the co-dispersion of random interactions in a random process is self-intersection local time. Similar results were obtained in this study. The analysis of free field and its product in Orlicz space generalizes the relationship between the intersection measurement and infinite process.