Homogenization in Anomalous Diffusion Phenomena and its Applications to Inverse Problems

2022年度は，異常拡散現象を記述する時間非整数階拡散方程式に対して均質化法とその逆問題への応用について研究を行った．2021年度の段階で，時間非整数階拡散方程式の均質化法の研究はおおむね完了している．そこで，本年度は主として昨年度得られた均質化法の逆問題への応用を研究した．具体的には次の2つの逆問題を考えた：(1)周期的な構造における観測データから均質化された構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．(2)均質化された構造における観測データから周期的な構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．この2つの逆問題を解決するために，時間非整数階拡散方程式の拡散係数が定数である場合に，その定数拡散係数を観測データから決定する逆問題の研究を行った．均質化法により導出される時間非整数階拡散方程式の拡散係数は定数になるため，この定数拡散係数決定逆問題の解決が上の2つの逆問題(1)と(2)を解くためのカギとなる．このような逆問題については先行研究が少なく，数学的にも独特な困難さがある．そこで，この定数拡散係数決定逆問題について本年度から共同研究を行い，逆問題における一意性と安定性の結果を得た．そして，特別な仮定を課した場合ではあるものの，定数拡散係数決定逆問題の結果と均質化法の結果を統合することで，上の2つの逆問題(1)と(2)における一意性と安定性を導出することができた．今後の研究計画としては，まず，学術論文誌への論文掲載を目指す．また，研究成果について研究集会や学会などで口頭発表を行いたい．次に，研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法の周辺の話題に取り組みたいと考えている．

2022年度は，異常拡散現象を記述する時間非整数階拡散方程式に対して均質化法とその逆問題への応用について研究を行った．2021年度の段階で，時間非整数階拡散方程式の均質化法の研究はおおむね完了している．そこで，本年度は主として昨年度得られた均質化法の逆問題への応用を研究した．具体的には次の2つの逆問題を考えた：(1)周期的な構造における観測データから均質化された構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．(2)均質化された構造における観測データから周期的な構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．この2つの逆問題を解決するために，時間非整数階拡散方程式の拡散係数が定数である場合に，その定数拡散係数を観測データから決定する逆問題の研究を行った．均質化法により導出される時間非整数階拡散方程式の拡散係数は定数になるため，この定数拡散係数決定逆問題の解決が上の2つの逆問題(1)と(2)を解くためのカギとなる．このような逆問題については先行研究が少なく，数学的にも独特な困難さがある．そこで，この定数拡散係数決定逆問題について本年度から共同研究を行い，逆問題における一意性と安定性の結果を得た．そして，特別な仮定を課した場合ではあるものの，定数拡散係数決定逆問題の結果と均質化法の結果を統合することで，上の2つの逆問題(1)と(2)における一意性と安定性を導出することができた．今後の研究計画としては，まず，学術論文誌への論文掲載を目指す．また，研究成果について研究集会や学会などで口頭発表を行いたい．次に，研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法の周辺の話題に取り組みたいと考えている．