Homogenization in Anomalous Diffusion Phenomena and its Applications to Inverse Problems

反常扩散现象的均匀化及其在反问题中的应用

• 批准号: 21K20333
• 负责人: 川本 敦史
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Takushoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-08-30 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K20333/
• 关键词: 逆問題; 数理モデル; 異常拡散現象; 非整数階拡散方程式; 均質化法

2022年度は，異常拡散現象を記述する時間非整数階拡散方程式に対して均質化法とその逆問題への応用について研究を行った．2021年度の段階で，時間非整数階拡散方程式の均質化法の研究はおおむね完了している．そこで，本年度は主として昨年度得られた均質化法の逆問題への応用を研究した．具体的には次の2つの逆問題を考えた：(1)周期的な構造における観測データから均質化された構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．(2)均質化された構造における観測データから周期的な構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．この2つの逆問題を解決するために，時間非整数階拡散方程式の拡散係数が定数である場合に，その定数拡散係数を観測データから決定する逆問題の研究を行った．均質化法により導出される時間非整数階拡散方程式の拡散係数は定数になるため，この定数拡散係数決定逆問題の解決が上の2つの逆問題(1)と(2)を解くためのカギとなる．このような逆問題については先行研究が少なく，数学的にも独特な困難さがある．そこで，この定数拡散係数決定逆問題について本年度から共同研究を行い，逆問題における一意性と安定性の結果を得た．そして，特別な仮定を課した場合ではあるものの，定数拡散係数決定逆問題の結果と均質化法の結果を統合することで，上の2つの逆問題(1)と(2)における一意性と安定性を導出することができた．今後の研究計画としては，まず，学術論文誌への論文掲載を目指す．また，研究成果について研究集会や学会などで口頭発表を行いたい．次に，研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法の周辺の話題に取り組みたいと考えている．

在2022财年，我们对均质方法进行了研究及其在描述异常扩散现象的非直觉扩散方程的逆问题上的应用。截至2021年，通常已经完成了非直集扩散方程的均质化方法的研究。因此，今年我们主要研究了去年获得的均质化方法的应用。具体而言，我们考虑以下两个反问题：（1）一个反问题，该问题决定了永恒的非直集扩散方程在均质结构中从周期性结构中观察到的数据中的扩散系数。 （2）一个反向问题，该问题决定了从均质结构中观察到的数据中周期性结构中时间非时间扩散方程的扩散系数。为了解决这两个逆问题，我们对逆问题进行了研究，其中当时间非数字扩散方程的扩散系数是一个常数时，从观察到的数据确定了恒定扩散系数。由于通过均质化得出的时间 - 任命器扩散方程的扩散系数是恒定的，因此解决此常数扩散系数逆问题是解决上述两个反问题（1）和（2）的关键。以前几乎没有关于这种反问题的研究，并且存在独特的数学困难。因此，我们从今年开始确定恒定扩散系数，并在反问题中获得独特性和稳定性的结果进行了联合研究。尽管提出了特殊的假设，但通过将恒定扩散系数逆问题的结果与均质方法的结果结合在一起，我们能够得出上面两个反问题（1）和（2）的唯一性和稳定性。未来的研究计划是首先要在学术期刊上发表论文。此外，我们想在研究会议和学术会议上进行有关我们的研究结果的口头介绍。接下来，作为我们的研究的发展，我们想解决非全体偏微分方程的均质化方法的主题。