量子場相互作用系のスペクトル解析および散乱理論

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[1]準相対論的な粒子と量子場が相互作用する系の数学的解析研究内容:交付申請書に記載されている「相対論的シュレディンガー方程式に従う粒子とKlein-Gordon場が相互作用する系の確率解析手法によるスペクトル解析」について考察した。研究成果として、「(i)系のハミル-トニアンが生成する1係数半群の汎関数積分表示」を導出し、その応用として「(ii)基底状態が存在すれば一意的となる」ことを示した。この結果をプレプリント「T.T.Arxiv1108.2256」として掲載した。また「(iii)基底状態が存在すれば、その基底状態の減衰評価は空間変数に関して指数的に減衰する」ことを示した。研究の意義・重要性:非相対論的なシュレディンガー方程式に従う粒子と量子場が相互作用する系と比べ、相対論的なシュレディンガー方程式に従う粒子と量子場が相互作用する系の解析は進んでいない状況であり、今回得られた基底状態の一意性および減衰評価が得られたことは意義があると思われる。[2]確率解析的手法による二階の線形偏微分方程式の固有関数の減衰評価について研究内容:伊藤拡散過程の生成作用素である二階の偏微分作用素にポテンシャルが加わった場合の固有値問題について考察した。研究結果として、「(I)固有値が存在する場合、その固有関数は多項式次数で減衰する」ことを示した。証明の方針としては量子力学のモデルの解析の際に用いられる確率解析的な手法を応用した。この研究は交付申請書に記載されていないが、量子物理学のモデルの確率解析的な手法による解析を進めていく中でその問題に気づき、研究を行ったものである。研究の意義:ヒルベルト空間上で定義された偏微分作用素の固有関数の確率解析的手法による減衰評価はこれまでに研究成果があげられていたが、一般の二階の偏微分方程式の固有関数の減衰評価は得られていなかったという現状において、研究の意義があると思われる。