相互作用する場の量子論の系の基底状態の解析および量子・古典対応

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量子力学的な粒子と量子場が相互作用する系で4次元時空上の計量が加わった系を含むモデルのスケーリング極限について考察した。系の状態空間は二乗可積分の空間とボソンフォック空間のテンソル積空間で定義される。粒子のハミルトニアンは変数係数のシュレディンガー作用素となっていることが特徴の一つである。系の全ハミルトニアンは紫外切断条件の下で、下に有界な自己共役作用素となっている。このモデルは紫外切断の除去や赤外発散の問題などがすでに汎関数積分表示を用いて考察されている。この系に通常の粒子と量子場が相互作用する系と同様に量子場のfree Hamitonian に2次のスケールパラメータ、相互作用には1次のスケールパラメータが加わり、そのスケールパラメータが無限大になるときの全ハミルトニアンに漸近的性質を考察し、スケールパラメータが加わった系の全ハミルトニアンの強リゾルベント極限が、effective potential が加わった変数係数のシュレディンガー作用素と真空への射影作用素のテンソル積の作用素となるということを示せた。証明の方針は通常の粒子と量子場が相互作用する系と同様に、dressing transformation と呼ばれる場の作用素とある交換関係をみたす作用素から定義されるユニタリー作用素を用いて系の全ハミルトニアンをユニタリー変換し、相互作用する場の量子論の系のスケーリング極限に関して用いられる一般的な定理を応用するのだが、その際にユニタリー変換した作用素のいくつかのノルム不等式の評価が必要となる。