モノドロシー表現とL-関数

1.アーベル多様体の代数曲線上の族が与えられたとき,その正則切断全体のなす群をモーデル-ヴェイユ群と言う。各ファイバーの1次ホロジーのなす局所定数層は、重さ-1のホッジ構造の変形と見做せる。この局所系を適当にコンパクト化することにより、そのi次コホモロジー群は再び重さ(i-1)のホッジ構造を持つ事が知られている(S9Zucker)。すると狭義モーデル-ヴェイユ群は、定数部分を除いて整係数1次コホモロジー群の(0,0)部分のなす群と同型である。この事実を用いて、本研究者はほとんばの久我ファイバー空間についてモーデル-ヴェイユ階数が0であることを示したが、さらにこの階数を一般にある種のL-関数の特殊値で表す事が可能であると考えているがまだ現実にはなっていない。今後は楕円曲面についてある種のゼータ関数、L-関数を定義し、その特殊値とモーデル-ヴェイユ階数とを比較したい。2.塩田氏の楕円曲面のモーデル-ヴェイユ格子の美しい理論を高次元化するためには、アーベル多様体の族を自然にコンパクト化まで延長しそれを調べる必要がある。この自然な延長がネロンモデルであるがそれは群スキームであり延長した点上のファイバーは連結アーベル代数群有限アーベル群による拡大になっている。この有限アーベル群を成分のなす群と呼ぶ。(定理):局所モノドロミー行例をTとしNをT-恒等射 と置く時、Nは一般ファイバーの1次ホモロジーの自己準同型である。この時成分の群とNの余核の有限分部は同型。これにより、局所モノドロミーが解かれば、容易に成分のなす群を計算出来る。例えば、1、2次元アーベル多様体の時はすべて決定出来る。3次元以上では、モノドロミーの共約類の完全な分類がないので完全な結果はまだ得られていないが、幾つかの興味の有る結果を得ている。

1.アーベル多様体の代数曲線上の族が与えられたとき,その正則切断全体のなす群をモーデル-ヴェイユ群と言う。各ファイバーの1次ホロジーのなす局所定数層は、重さ-1のホッジ構造の変形と見做せる。この局所系を適当にコンパクト化することにより、そのi次コホモロジー群は再び重さ(i-1)のホッジ構造を持つ事が知られている(S9Zucker)。すると狭義モーデル-ヴェイユ群は、定数部分を除いて整係数1次コホモロジー群の(0,0)部分のなす群と同型である。この事実を用いて、本研究者はほとんばの久我ファイバー空間についてモーデル-ヴェイユ階数が0であることを示したが、さらにこの階数を一般にある種のL-関数の特殊値で表す事が可能であると考えているがまだ現実にはなっていない。今後は楕円曲面についてある種のゼータ関数、L-関数を定義し、その特殊値とモーデル-ヴェイユ階数とを比較したい。2.塩田氏の楕円曲面のモーデル-ヴェイユ格子の美しい理論を高次元化するためには、アーベル多様体の族を自然にコンパクト化まで延長しそれを調べる必要がある。この自然な延長がネロンモデルであるがそれは群スキームであり延長した点上のファイバーは連結アーベル代数群有限アーベル群による拡大になっている。この有限アーベル群を成分のなす群と呼ぶ。(定理):局所モノドロミー行例をTとしNをT-恒等射 と置く時、Nは一般ファイバーの1次ホモロジーの自己準同型である。この時成分の群とNの余核の有限分部は同型。これにより、局所モノドロミーが解かれば、容易に成分のなす群を計算出来る。例えば、1、2次元アーベル多様体の時はすべて決定出来る。3次元以上では、モノドロミーの共約類の完全な分類がないので完全な結果はまだ得られていないが、幾つかの興味の有る結果を得ている。