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多変数古典直交多項式の探求とその応用

探索多元经典正交多项式及其应用

基本信息

批准号：
15K17561
负责人：
三木啓司
金额：
$ 2.08万
依托单位：
Doshisha University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-01 至 2017-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15K17561/
关键词：
多変数直交多項式例外型直交多項式多重直交多項式

项目摘要

前年度においては、Aomoto-Gel'fandの超幾何関数の特別な場合で書けるような多変数直交多項式について調査した。その結果、3変数以上の直交多項式については2変数以下の多項式が満たしていた性質を一般に共有していないということを明らかにしていた。本年度はさらに3変数以上の場合の直交多項式について調査したところ、2変数以下で成り立つ性質をそのまま保つようなクラスが存在することを明らかにした。具体的には物理モデルとの対応関係にも重要な役割を果たすと期待されるような最隣接関係式が成立する3変数多項式のクラスを発見した。特に、3変数_Krawtchouk多項式を用いて最隣接作用を記述する3次元XXスピン鎖が対角化できることを明らかにし、スピン鎖格子上での量子状態転送について理論的な観測ができることを明らかにした。また、有理関数を係数に持つ2階の常微分方程式の多項式解として特徴付けられる例外型直交多項式と呼ばれる古典直交多項式の拡張は，古典直交多項式がもついくつかの性質を拡張するような性質を持つことが知られている。例外型直交多項式に対してもこれまで知られていなかった古典性の拡張に相当する性質をいくつか明らかにした。具体的には古典性の拡張や離散例外型直交多項式が満たす漸化式・隣接関係式を得た。その中でも、離散例外型直交多項式が満たす隣接関係式を用いることで、出生死滅過程と呼ばれる確率過程の拡張に例外型直交多項式が自然に現れることを明らかにした。

In the previous year, the hypergeometric relations of Aomoto-Gel'fand were investigated in special cases. The result is that the orthogonal polynomial with 3 or more numbers is not equal to the polynomial with 2 or less numbers. The property is generally shared. This year, the orthogonal polynomials are investigated in the case of more than 3 numbers, and the results are established in the case of less than 2 numbers. The concrete physical relations between the three polynomials are found in the most important relations between the three polynomials Special, three-dimensional Krawtchouk polynomials are used to describe the most adjacent interaction. The quantum state on the lattice is transmitted to the theory. Polynomial solutions of ordinary differential equations of order 2 with rational correlation coefficients are characterized by exceptional orthogonal polynomials and classical orthogonal polynomials. Exceptional orthogonal polynomials are known to be classical in nature Specific classical and discrete exception orthogonal polynomials are derived from the evolution equation and the adjacency equation. A discrete, exceptional orthogonal polynomial is a natural occurrence in a process of death and extinction.