多変数古典直交多項式の探求とその応用

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前年度においては、Aomoto-Gel'fandの超幾何関数の特別な場合で書けるような多変数直交多項式について調査した。その結果、3変数以上の直交多項式については2変数以下の多項式が満たしていた性質を一般に共有していないということを明らかにしていた。本年度はさらに3変数以上の場合の直交多項式について調査したところ、2変数以下で成り立つ性質をそのまま保つようなクラスが存在することを明らかにした。具体的には物理モデルとの対応関係にも重要な役割を果たすと期待されるような最隣接関係式が成立する3変数多項式のクラスを発見した。特に、3変数_Krawtchouk多項式を用いて最隣接作用を記述する3次元XXスピン鎖が対角化できることを明らかにし、スピン鎖格子上での量子状態転送について理論的な観測ができることを明らかにした。また、有理関数を係数に持つ2階の常微分方程式の多項式解として特徴付けられる例外型直交多項式と呼ばれる古典直交多項式の拡張は，古典直交多項式がもついくつかの性質を拡張するような性質を持つことが知られている。例外型直交多項式に対してもこれまで知られていなかった古典性の拡張に相当する性質をいくつか明らかにした。具体的には古典性の拡張や離散例外型直交多項式が満たす漸化式・隣接関係式を得た。その中でも、離散例外型直交多項式が満たす隣接関係式を用いることで、出生死滅過程と呼ばれる確率過程の拡張に例外型直交多項式が自然に現れることを明らかにした。