Existence of solutions of free boundary problems of two-phase fluids and their asymptotic behaviors

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本年度は、二層流体の拡散界面モデルについての適切性と、非有界領域における、定常Navier-Stokes方程式の解の漸近挙動及びそのリュービル型定理への応用に関する研究を行った。二層流体の拡散界面モデルに関しては、非局所モデルの弱解が局所モデルの弱解に収束するかという問題があるが、それに関して、肯定的な結果を与えた、Helmut Abels氏との共著論文が、本年度に出版された。また、秋季の日本数学会の特別講演において、本結果について扱った。非局所モデルには、２０２０年にAbels氏との共同研究で扱った、化学ポテンシャルが領域ラプラシアンを伴う場合があるが、それに関する解の収束に関する話は、まだ扱われていない。カーン・ヒリアード方程式よりも単純な熱方程式の場合から、本問題にアプローチしたいと考えているが、まだ、十分な結果を得るには至っていない。この他には、小薗英雄氏（早稲田大学）と若杉勇太氏（広島大学）との共同研究により、円筒の外部領域において、定常Navier-Stokes方程式の解であって、旋回を持たないものを考え、それの漸近挙動を、速度場のq乗可積分条件(q \leq 2)の下で考察した。ただし、速度場は鉛直方向に周期性を課し、可積分条件は、領域を鉛直方向の一周期で限った部分で考えている。本結果は、学術誌に掲載が決定された。最近、同氏等との共同研究により、二つの円筒に挟まれた領域での流れであるTaylor-Couette流の、速度場が十分小さいという仮定の下での一意性の結果を得た。本結果も一種のリュービル型定理とみなせる。これは、Bang-Gui-Wang-Xie('22)による、ポアズイユ流に対する同種の結果のTaylor-Couette流の場合への拡張と見做すことができる。この結果は、すでに学術誌に投稿済みである。