リーマン面の理想境界と極大性について

本年度の研究においては、リーマン面Sの有限葉の限界のない分岐被覆面となっているリーマン面Rの倉持理想境界の極小点の個数について、以下の成果を得た。πをRからSへの射影とすると、πはRの倉持コンパクト化R^*からSの倉持コンパクト化S^*への連続写像に拡張される。QをS^*の倉持極小点とするとπ^<-1>(Q)はR^*の倉持極小点を有限個含むことが分かる。QのSにおける細近傍Mのπによる逆像π^<-1>(M)のRにおける連結成分の数n_Mは有限である。このとき、次の等式が成り立つ。π^<-1>(Q)に含まれる倉持極小点の個数=max{n_M:MはQのSにおける細近傍}以上が成果であるが、この証明にあたって、瀬川・正岡らのMartin理想境界の極小点の個数についての結果の証明方法が大いに役に立った。そのため、彼らと数回にわたる打合せを行ない、その過程で、倉持コンパクト化とMartinコンパクト化の差違の研究が今後必要であるとの認識で一致した。又、設備備品費で購入した、フラクタル関係、ポテンシャル関係,複素力学系関係の図書により得られた知識,手法は、今後のリーマン面の倉持境界上のポテンシャル論の研究上有用である。

本年度の研究においては、リーマン面Sの有限葉の限界のない分岐被覆面となっているリーマン面Rの倉持理想境界の極小点の個数について、以下の成果を得た。πをRからSへの射影とすると、πはRの倉持コンパクト化R^*からSの倉持コンパクト化S^*への連続写像に拡張される。QをS^*の倉持極小点とするとπ^<-1>(Q)はR^*の倉持極小点を有限個含むことが分かる。QのSにおける細近傍Mのπによる逆像π^<-1>(M)のRにおける連結成分の数n_Mは有限である。このとき、次の等式が成り立つ。π^<-1>(Q)に含まれる倉持極小点の個数=max{n_M:MはQのSにおける細近傍}以上が成果であるが、この証明にあたって、瀬川・正岡らのMartin理想境界の極小点の個数についての結果の証明方法が大いに役に立った。そのため、彼らと数回にわたる打合せを行ない、その過程で、倉持コンパクト化とMartinコンパクト化の差違の研究が今後必要であるとの認識で一致した。又、設備備品費で購入した、フラクタル関係、ポテンシャル関係,複素力学系関係の図書により得られた知識,手法は、今後のリーマン面の倉持境界上のポテンシャル論の研究上有用である。