リーマン面の理想境界の研究

リーマン面RのQ-コンパクト化とはR上の函数族Qがそのうえで連続函数に拡張され、かつ、そのコンパクト化の任意の2点がQで分離されるコンパクト化のことである。研究代表者は、リーマン面とその限界のない2葉の分岐被覆リーマン面、そしてそれらのQ-コンパクト化を考え被覆面からの自然な射影の理想境界(コンパクト化によってつけ加えられた点の集合)への連続的拡張と、被覆面の葉入れ替え写像の理想境界への連続的拡張を示した。特に、Qとして倉持核函数族、リーマン面として単位円板と、その2葉の分岐被覆面の場合、倉持理想境界間の射影による対応は、研究代表者によって詳しく調べられているが、今年度の研究では、一般のリーマン面とその2葉被覆面でも倉持のコンパクト化をすれば単位円板の場合とほぼ同様のことが成り立つことを示した。その方法では単位円板の時のような特殊性は使えないが、倉持ポテンシャルの正規表現の一意性が本質的である。次に、研究代表者はリーマン面の倉持理想境界上の互いに素な二つの閉集合を島を亙って結ぶ曲線族の極値的長さと、それらの集合によって定まる容量ポテンシャルの関係について研究した。島がないときの結果はすでに研究代表者によって調べられていたが、島があるときでも条件付きで極値的長さと容量ポテンシャルのディリクレ積分の逆数が等しいことを示した。これの証明には島のないときにも用いた極値的長さの連続性が有用である。更にその容量ポテンシャルの理想境界における境界挙動についての結果も得られた。

リーマン面RのQ-コンパクト化とはR上の函数族Qがそのうえで連続函数に拡張され、かつ、そのコンパクト化の任意の2点がQで分離されるコンパクト化のことである。研究代表者は、リーマン面とその限界のない2葉の分岐被覆リーマン面、そしてそれらのQ-コンパクト化を考え被覆面からの自然な射影の理想境界(コンパクト化によってつけ加えられた点の集合)への連続的拡張と、被覆面の葉入れ替え写像の理想境界への連続的拡張を示した。特に、Qとして倉持核函数族、リーマン面として単位円板と、その2葉の分岐被覆面の場合、倉持理想境界間の射影による対応は、研究代表者によって詳しく調べられているが、今年度の研究では、一般のリーマン面とその2葉被覆面でも倉持のコンパクト化をすれば単位円板の場合とほぼ同様のことが成り立つことを示した。その方法では単位円板の時のような特殊性は使えないが、倉持ポテンシャルの正規表現の一意性が本質的である。次に、研究代表者はリーマン面の倉持理想境界上の互いに素な二つの閉集合を島を亙って結ぶ曲線族の極値的長さと、それらの集合によって定まる容量ポテンシャルの関係について研究した。島がないときの結果はすでに研究代表者によって調べられていたが、島があるときでも条件付きで極値的長さと容量ポテンシャルのディリクレ積分の逆数が等しいことを示した。これの証明には島のないときにも用いた極値的長さの連続性が有用である。更にその容量ポテンシャルの理想境界における境界挙動についての結果も得られた。