界面の運動に対する幾何学的模型の解析と応用

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本年度は予定を若干変更して界面の運動のモデルの一つである曲線短縮(curve-shortening)方程式の離散化の研究を継続した。この研究に於ける主要な点は前年度の報告にもあるように、(1)離散的な曲線短縮方程式を見出すこと、(2)見出したモデルが曲線短縮方程式として妥当なことを示すこと、の二つに集約される。前年度までの研究により既に以下のことが示されている。・任意の三角形は有限時間で一点に収縮する。またその際の漸近形は正三角形である。・平行2N辺形(N【greater than or equal】2)は有限時間で一点に収縮する。またその際の漸近形は正2N角形(但しN=2では例外的これらの性質は得られたモデルが元の方程式の良い離散化であることを示唆している。ここでは平行2N辺形という対称性を持つものに限定していたが、本年度はこの仮定を外す試みを行った。これには大きな困難が伴うが、今回はN=5の場合にうまく拡張することが出来た。これにより元の方程式の最も著しい性質である「任意の滑らかな単純閉曲線は有限時間で一点に収縮し、その漸近形は円である」ことの離散化へ一歩近付いたと言える。曲線短縮方程式の離散的な拡張は他にも幾つかの研究があるが、N=5の場合に良い性質を持つことは我々のモデルが良い振舞をするものであることを示唆していると思われる。なお本年度はこれまでの研究成果をまとめ、また若干の新しい結果を加えて博士論文[1]を提出し、平成9年2月17日付けで受理された。参考文献[1]K.Nakayama : Geometrical Approaches to Nonlinear Dynamical Systems. Doctor thesis. Department of Physics,University of Tokyo,1996.