曲線の運動方程式のリーマン幾何学的摂動

曲线运动方程的黎曼几何摄动

基本信息

批准号：
26400069
负责人：
小磯憲史
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Kyushu University (2017-2019)Osaka University (2014-2016)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-01 至 2020-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は Caflish と Maddocks が導入したユークリッド空間における弾性曲線の運動方程式の解の存在定理を一般のリーマン多様体上に拡張することである．この目的は2017年度までで主要部分を達成することができた．その証明の骨格を一言で言えば，曲線の近傍に正規直交枠を与えることにより今までの研究で得られた Lie 群の場合に帰着させるということである．その帰着の手続きにおける最も重要な鍵は (1) 共変微分で定義された微分作用素を正規直交枠を用いて微分可能性を人為的に高くした微分作用素で近似すること，(2) 測地線を特徴付ける積分量の定義において用いる微分階数を減らすこと，であった．2018年度まではこれらの鍵の厳密化として 2 点: (1) この研究成果の応用のためには初期値の微分可能性の仮定を現在の 3 階連続微分可能性よりももっと弱めること，(2) 測地線を特徴付ける正定値常微分作用素部分のより詳細な解析により幾何学的な意味をより明確にする，という方針で研究を行った．その結果，次のような成果を得た: (1) 最終的な 3 階連続微分可能性を改良することはできなかったが，それを導く補題の段階では微分可能性を減らすことができた．これは応用上意味のある改良である．(2) 1 階微分のみを用いた測地線を特徴付ける積分量を定めた．この積分量に関する変分問題をユークリッド平面において解析し，正 n 角形の積分量が n を大きくしていったときに円の積分量に収束するなど，1 階微分のみを用いた解析の有用性を示した．

这项研究的目的是将解决方案的存在定理扩展到euclidean空间中弹性曲线的运动方程，由Caflish和Maddocks在一般的Riemann歧管上引入。这一目标是在2017财政年度实现的。简而言之，此证明的骨骼是在曲线附近提供正交框架，从而导致先前研究中获得的谎言组。此反转过程中最重要的键是（1）近似于通过正交框架人为地提高可分辨率的协方差定义的差分运算符，以及（2）降低用于定义表征大地测量线的积分量的差异顺序。直到2018年，采取了两项关键的严格措施：（1）为了应用这项研究，进行了研究，其政策是削弱了与当前的三阶连续可区分性相比，对初始值的不同性能的假设，以及（2）通过对呈阳性的普通差异化零件的更详细的分析，以使其更清楚地含义，从而使其更清楚地分析地差异。结果如下：（1）无法提高最终三阶连续可不同性，但是引导这一指导的引理阶段导致了可不同的性能。这是对应用有意义的改进。（2）仅确定仅使用一阶分化来表征大地线的积分量。在欧几里得平面中分析了有关积分量的这个变异问题，并且仅使用一阶差分的分析显示了分析的有用性，例如当正n-Angle的积分量增加时，n-n-n-ny-n-ny-n-n-n-Ange升高时，n。