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曲線の運動方程式のリーマン幾何学的摂動

曲线运动方程的黎曼几何摄动

基本信息

批准号：
26400069
负责人：
小磯憲史
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Kyushu University (2017-2019)Osaka University (2014-2016)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-01 至 2020-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は Caflish と Maddocks が導入したユークリッド空間における弾性曲線の運動方程式の解の存在定理を一般のリーマン多様体上に拡張することである．この目的は2017年度までで主要部分を達成することができた．その証明の骨格を一言で言えば，曲線の近傍に正規直交枠を与えることにより今までの研究で得られた Lie 群の場合に帰着させるということである．その帰着の手続きにおける最も重要な鍵は (1) 共変微分で定義された微分作用素を正規直交枠を用いて微分可能性を人為的に高くした微分作用素で近似すること，(2) 測地線を特徴付ける積分量の定義において用いる微分階数を減らすこと，であった．2018年度まではこれらの鍵の厳密化として 2 点: (1) この研究成果の応用のためには初期値の微分可能性の仮定を現在の 3 階連続微分可能性よりももっと弱めること，(2) 測地線を特徴付ける正定値常微分作用素部分のより詳細な解析により幾何学的な意味をより明確にする，という方針で研究を行った．その結果，次のような成果を得た: (1) 最終的な 3 階連続微分可能性を改良することはできなかったが，それを導く補題の段階では微分可能性を減らすことができた．これは応用上意味のある改良である．(2) 1 階微分のみを用いた測地線を特徴付ける積分量を定めた．この積分量に関する変分問題をユークリッド平面において解析し，正 n 角形の積分量が n を大きくしていったときに円の積分量に収束するなど，1 階微分のみを用いた解析の有用性を示した．

The purpose of this study is Caflish and MaddocksがImport したユークリッドSpace における弾性curveのMotion equationのExistence theoremのSolutionをGeneral のリーマンに拡张することである． The main part of the purpose of 2017 was achieved.そのproves the skeletal pattern を一言で言えば, the curve is close to the normal orthogonal intersection 枠を and えることにより日までの research でget られた Lie The occasion of the group is very simple. The most important key is the most important key (1) Common value differential definitionされたdifferential action elementをnormal orthogonal 枠をutilizationいてdifferential possibilityをartificialにhighくしたdifferential action elementでapproximationすること, (2) The geodesic を special 徴FU ける integral quantity is defined by においている differential order を minus らすこと, であった. 2018 まではこれらのKeyの厳densificationとして 2 points: (1) このResearch resultsの応用のためにはInitial valueのdifferential possibilityの仮determinedをNowの 3 cascaded differential possibility, (2) Geodesic を special value ける positive definite value ordinary differential element part のより detailed な analysis によりな meaning of geometry をより clarification にする, という policy で research を行った． The result of the time, the result of the time: (1) The final result 3 The differential possibility of the series is improved and improved, and the differential possibility of the series is reduced and reduced.これは応 is used to improve である which means のある． (2) The first-order differential is determined by the geodesic characteristic and the integral amount.このintegral quantity に关する剉分 Problem をユークリッド plane においてanalytic し, positive n angular のintegral quantity が nを大きくしていったときに円のintegral quantity に convergence するなど, 1st order differential のみを Use いたanalytics の usefulness をshow した．