超準解析的手法による特異点の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

代数幾何学は代数方程式の零点として定義される代数多様体の性質を研究する分野である。その中でも双有理幾何学は多様体を双有理同値という同値関係に基づいて分類することを目標としている。双有理幾何学において重要な特異点として有理特異点や川又対数的端末特異点などがある。標数0の体上の代数幾何では特異点解消を用いてこれらの特異点が定義される。しかし、正標数の体上の代数幾何においてはフロベニウス写像を用いてF-有理特異点やF-正則特異点が定義される。これらの等標数0と正標数の特異点には正標数還元という手法によって著しい関連があることが知られている。近年、MaとSchwedeは混標数の特異点についてもbig Cohen-Macaulay (BCM)代数を用いて特異点のクラスを定義すれば等標数の特異点論と類似の結果が得られることを示している。ただし、ネーター局所環Rに対しBがBCM R-代数であるとはRの任意のパラメータ系がB-正則列になることである。他方でH. Schoutensは超準解析的な手法を可換環論に応用して正標数と等標数0の環の関係を研究したり、等標数0の環上のBCM代数を構成したりしている。これらを踏まえ、超準解析的な手法により標数0のBCM代数と双有理幾何に現れる特異点の関係を調べることが本研究の目標である。MaとSchwedeの理論を用いるとBCM代数を用いてBCM判定イデアルというイデアルを構成することが出来る。これは正標数における判定イデアルや等標数0の乗数イデアルに近いものであると考えられる。そこで、等標数0のBCM代数に関してBCM判定イデアルを考えれば乗数イデアルと一致し、また等標数0においてはBCM有理特異点と有理特異点が一致すると考えられる。これらの問題について超準的な手法を用いて正標数のBCM代数と比較して考察を行った。