特異な多重線形擬微分作用素に対する有界性定理の精密化

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本年度は双線形擬微分作用素の有界性について，以下の結果を得た．１．双線形のヘルマンダークラスS_{0,0}にシンボルをもつ双線形擬微分作用素について，ソボレフ空間上の有界性を証明した．ソボレフ空間はトリーベル・リゾルキン空間の特別な場合である．ソボレフ空間上の有界性は，線形の擬微分作用素の場合にはルベーグ空間上の有界性とヘルマンダークラスS_{0,0}の合成に関する性質から容易にに導かれることは古くから知られている．しかし，双線形の場合に同様の手法で議論を適用したとしても，ソボレフ空間上の有界性を得ることはできない．本研究では双線形のヘルマンダークラスS_{0,0}よりも広いシンボルクラスを考え，そのルベーグ空間上での有界性を考えることによりこの困難を克服することができた．また，ソボレフ空間上の有界性を保証するためには，線形の場合には現れなかった，可微分性を表す指数に対してある条件が必要であることも明らかにした．２．双線形のヘルマンダークラスS_{0,0}にシンボルを持つ双線形擬微分作用素について，ベゾフ空間上での有界性を証明した．ベゾフ空間の指数を適当に選ぶことで，これまでに知られていたルベーグ空間上の有界性（Miyachi-Tomita(2013), Kato-Miyachi-Tomita (2022))を部分的に改良できることが分かった．また，上記のソボレフ空間上での有界性の場合と同様に，指数に対してある仮定がベゾフ空間上の有界性を証明するためにある意味で必要であることも示した．