トーリック環の因子類群とその応用

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当該年度における本研究では、階数の小さい(0,1)凸多面体から生起するトーリック環の正規性、因子類群のねじれ自由性、及び、それらのトーリック環の関係性を調査した。また、有理強凸多面錐から生起する正規トーリック環について、因子類群の中でconic因子的イデアルの同型類を表す領域を決定する方法を調査し、それを利用して非可換クレパント特異点解消を構成出来るか考察した。前者について、当初は正規(0,1)凸多面体から生起するトーリック環の因子類群は常にねじれ自由であると予想し、その証明を完成させることを計画していたが、数値実験の末、階数が3以上の場合はねじれ自由にならないものが存在することが判明した。ただし、階数が0、及び、1の時は常にトーリック環は正規であり、因子類群はねじれ自由で、そのトーリック環の特徴づけ、関係性を完全に記述することが出来ることを証明した。階数2の場合においては、いずれもまだ未解決のままだが、Gale-diagramを用いた手法により、関係性をある程度記述することが出来ることを示した。後者について、一般の正規トーリック環に対して、そのconic因子的イデアルを記述するための、有向マトロイド理論を用いた非常に良いアイデアを与えた。また、そのアイデアを用いて日比環、理想グラフの安定集合環のconic因子的イデアルを決定することに成功した。さらに、この結果を用いて、理想グラフの安定集合環のあるクラスに対して、非可換クレパント特異点解消を構成することに成功した。