Yang-Mills場と4次元多様体

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科研費交付申請書の研究実施計画で述べた通り、本年度はYang-Mills場、なかんずく、反自己双対接続のmoduli空間のmetric構造の研究にとり組んだ。従来知られている"自然な"metricは、たとえば【S^4】上の1-インスタントンのmoduli空間に正の断面曲率を与えることになり、応用上好ましくない。そこで新しいmetricの導入が望まれていた。広島大の松本堯生氏は、【S^4】上の1-インスタントンのmoduli空間に負の断面曲率を与えるmetricの入れ方を提案したが、この"metric"が、【S^4】以外の4次元多様体についても退化しない本当の意味のリーマン計量を与えるかどうかを確かめることを今年度の課題とした。そして、本年度の研究の成果として、次の結果を得た。定理、実解析的な4次元多様体上の実解析的主束の反自己双体接続のmoduli空間については、松本堯生氏のmetricは真正なmetricである。この結果は、次の定理の系として得られる。定理、実解析的な4次元多様体上の実解析的主束の既約な反自己双対接続▽(構造群はSU(2))に関する共変外微分【d^v】;【Ω^1】(adP)→【Ω^2】(adP)は1対1である。これらの成果について、現在論文を準備中である。今後の課題は、moduli空間の周辺部の曲率が、多様体によらずに負の定数(-5/32【π^2】)に近づく、という予想を肯定的に証明し、それを4次元トポロジーに応用して行くことである。