Yang-Mills場と4次元多様体

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ファイバー空間の構造をもつ4次元多様体の研究については、次の2つの進展があった。ひとつは、多重ファイバーのみをもつトーラス・ファイバー空間上の幾何構造の研究である。(上正明)それによれば、そのようなトーラス・ファイバー空間には、8種類の幾何構造が入り、それらの微分同相類も完全に決定される。更に、その幾何構造の変形空間も決定される。ふたつめの進展は、ファイバーが種数2以上の閉曲面であるようなファイバー空間を研究するための手がかりが得られたことである。すなわち、そのようなファイバー空間の特異ファイバーのまわりのモノドロミーとして現われる微分同相写像を、幾何的な言葉で特徴づけることに成功した(松本幸夫他)これにより、トーラス・ファイバー空間の理論を種数2以上の場合に拡張する可能性が開けたといえる。プレプリントは準備中である。ただし、残念なことに、当初予定していた、多重ファイバー2本の場合のトーラス・ファイバー空間の微分同相類に関しては、FriedmanとMorganに先を越された。Casson不変量に関しての成果は、ザイフェルトホモロジー3球面のCasson不変量の計算に成功したことである。(これは、津田塾大学の福原真二、坂本幸一両氏および松本幸夫の協力によるものである。)この計算結果は、Floerホモロジー理論の研究にも役立つと信ずる。インスタントン関係では、中島啓によるALE重力インスタントンの研究が進展している。モジュライ空間上のmetricの研究は難航しており、次年度へ持ち越しとなった。