ガロア分岐被覆の研究

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ガロア分岐被覆に関する本研究は、軌道体の位相的一意化に関する位相的条件と、一意化に対する幾何学的条件のかかわりに端を発している。古典的にはフックス群等が好例である。高次元になると、幾何的構造に関する、モストフの剛性定理が興味深い新見地を与える。複素射影平面の直線族にそったクンマー分岐被覆が複素双曲的構造をもつことがあるというヒルツェブルフによる発見は、軌道体の最小非特異モデルの基本群、つまり、ガロア群が普遍ガロア分岐被覆を決定することがあると解釈できる。大ざっぱに云えば、2変数有理関数体のガロア拡大で、ガロア群の抽象的群構造によって、ガロア拡大自体が決定されるものがある。吉田正章は、この現象をフックス型微分方程式の存在と関連づけ、群構造の具体的な記述を行う為に、複素双曲的鏡映群に拡張されたコクセター図形を得た。この新しいコクセター図形における規約は、通常の規約に欠けた部分を補い完全にしたものである。また、エルミート対称空間で一意化される軌道体に対応して、フックス型微分方程式が存在することを示している。研究代表者は、クンマー分岐被覆については、殆んどの場合には、被覆空間の正則同型が必然的に、ガロア群と同変になる、つまり、クンマー分岐被覆の間の同型である、ことを示した。この現象をリーマン面で考察し、鈴木と桜井はその条件を更に一般化することに成功している。金信は、からみ目理論で、からみ目の補空間の普遍アーベル被覆のガロア群の1次元ホモロジー群への作用によって定まる多変数アレキサンダー多項式を、ジョーンズ多項式,その2変数化,Q多項式,カウフマン多項式をも込めて、その相違点、強弱の関係を明らかにしている。山崎は、シンプレティック群のヘッケ環のヤコビ・アイゼンスタイン級数への作用を詳しく調べることにより、2次ジーゲル・アイゼンスタイン級数に対するマース関係を一般次数に拡張した。