有限群の研究

平成元年度において、研究代表者は次の様な研究成果を得た。環Aがその部分環BのH-分離拡大であり、かつAが左A-有限生成射影的であれば、任意の左A-加群Mに対し、MのA-加群としてのBicommutatorA^*は、MのB-加群にとしてのBicommutatorB^*のH-分離拡大となり、B^*=V_<A*>温(V_<A*>温(B^*))でかつA^*は左B^*-有限生成射影的となる。この定理を強原始環に適用することにより、次の主定理を得た。A,Bを共に強原始環、AをBのH-分離拡大で、かつAが左B-有限生成射影的であるとする。Aの極小左-idealをI,Bの極小左idealをmとし、I,mのBicommutatorをそれぞれA^*,B^*とすると、次の事柄が成り立つ。(1)I〓【symmetry】m(有限直和)でかつEmd(_B±)はアルティン的単純環、(2)B^*はIのB-加群としてのBicommutatorBと同型である。(3)D^*=V_<A*>(B^*)、C^*=Aの中心とすると、D^*はアルティン的単純環でD^*〓D【cross product】、C^*(但しD=V_A(B))。(4)A^*はB(〓B^*)のH-分離拡大となる。以上をまとめると、強原始環の射影的なH-分離拡大は、閉原始環の内部ガロア拡大の中へ埋め込みが可能となる、ことになる。また強原始環の一般論としては、東屋-中山による、閉原始環に関する一定理の拡張となる、次の定理を証明した。Aを強原始環、IをAの極小左ideal,A^*をIのBicommutator,更にZをAのsacleとする。このときZはA^*の左idealでもあり、A^*からEnd(Z_A)への写像η(η(a^*)(x)=a^*x、a^*εA^*、xεZ)は環としての同型写像となる。

平成元年度において、研究代表者は次の様な研究成果を得た。環Aがその部分環BのH-分離拡大であり、かつAが左A-有限生成射影的であれば、任意の左A-加群Mに対し、MのA-加群としてのBicommutatorA^*は、MのB-加群にとしてのBicommutatorB^*のH-分離拡大となり、B^*=V_<A*>温(V_<A*>温(B^*))でかつA^*は左B^*-有限生成射影的となる。この定理を強原始環に適用することにより、次の主定理を得た。A,Bを共に強原始環、AをBのH-分離拡大で、かつAが左B-有限生成射影的であるとする。Aの極小左-idealをI,Bの極小左idealをmとし、I,mのBicommutatorをそれぞれA^*,B^*とすると、次の事柄が成り立つ。(1)I〓【symmetry】m(有限直和)でかつEmd(_B±)はアルティン的単純環、(2)B^*はIのB-加群としてのBicommutatorBと同型である。(3)D^*=V_<A*>(B^*)、C^*=Aの中心とすると、D^*はアルティン的単純環でD^*〓D【cross product】、C^*(但しD=V_A(B))。(4)A^*はB(〓B^*)のH-分離拡大となる。以上をまとめると、強原始環の射影的なH-分離拡大は、閉原始環の内部ガロア拡大の中へ埋め込みが可能となる、ことになる。また強原始環の一般論としては、東屋-中山による、閉原始環に関する一定理の拡張となる、次の定理を証明した。Aを強原始環、IをAの極小左ideal,A^*をIのBicommutator,更にZをAのsacleとする。このときZはA^*の左idealでもあり、A^*からEnd(Z_A)への写像η(η(a^*)(x)=a^*x、a^*εA^*、xεZ)は環としての同型写像となる。