リ-マン多様体上の無限小変換群の研究

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完備なリ-マン多様体が本質的無限小射影変換群を許容していれば、この多様体は正定曲率空間に等長的であろうか?この問題を背定的に証明しようというのがこの研究の目的である。ユ-クリッド球面上のスカラ-関数のラプラシアンの第2固有値の固有関数がみたしている微分方程式が、この研究目的には有効である。なぜならば、完備なリ-マン多様体上に,この微分方程式をみたすスカラ-関数が存在すれば,このリ-マン多様体は正定曲率空間に等長的であることが知られている。従って、本質的無限小射影変換群を許容する多様体上には,この微分方程式をみたすスカラ-関数が存在することを示せばよい。事実、多様体がコンパクトで、かつスカラ-曲率が一定な場合には、グリ-ンの定理を用いて、この微分方程式をみたすスカラ-関数の存在することが証明されている。多様体の構造をその接バンドルの構造との関連において調べることは、しばしば行われる手法である。多様体上の無限小射影変換全体の作るリ-環と、complete lift metricをもつその接バンドル上のfibre-preserving無限小共形変換全体の作るリ-環との間の対応を調べることにより、多様体がharmonic curvatureの場合には、この多様体上に、この微分方程式をみたすスカラ-関数の存在することが証明できる。harmonic curvatureなる条件を取り除くためには、接バンドルの構造を更に深く調べる必要がある。接バンドル上の幾何学としては、フインスラ-幾何学が有名である。そこで,今年度はフインスラ-幾何学における無限小共形変換群の研究を行なった。