完全非線形2階偏微分方程式の粘性解と変分問題の研究

完全非线性二阶偏微分方程的粘性解和变分问题研究

• 批准号: 01540131
• 负责人: 山田 直記
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1989
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1989 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01540131/
• 关键词: 粘性解; 導関数の評価; 障害物問題

微分ゲ-ムや確率制御などの変分問題から導かれる種々の偏微分方程式は、完全非線形2階楕円型偏微分方程式の好適な例となっている。複数の確率過程のスイッチングを含む微分ゲ-ム問題が、両側制限条件をもつ微分不等式(miniーmax問題)の系と深く関連していることは、研究代表者により、すでに指摘されていた。本年度の研究では、この微分不等式系について、最近導入された新しい弱解の概念である「粘性解」の概念を用いて、従来より一般的は仮定のもとで、粘性解の存在を証明した。すなわち、A^Pv=-Σa^P_<ig>(x)V_<xixj>+Σb^P_i(x)Vxi+C^P(x)V,P=1,2,…,mを一様楕円型の偏微分作用素とし、U^1,…,U^Pを未知関数とする微分不等式の系:U^<P+1>-k≦U^P≦U^<P+1>+K,A^PU^P=f^P(if U^<P+1>-k<U^P<U^<P+1>+K),A^PU^P≦f^P(if U^P=U^<P+1>+K),A^PU^P≧f^P(if U^P=U^<P+1>-k)in Ω,U^P/αΩ=0,P=1,…,m,ただしU^<m+1>=U^1、を考える。近似方程式系A^PU^P_ε+β_ε(U^P_ε-U^<P+1>_ε-K)-β_ε(U^<P+1>_ε-k-U^P_ε)=f^P in Ω,U^P_ε/αΩ=0の解U^P_εに対して、従来は、その導関数の評価を得るために、「C^P(x)は十分大きい」と仮定していたが、差分法に由来する新しい評価法を適用することにより、この仮定を除いても近似解の導関数の評価が得られることを証明した。従ってこの近似解の極限関数として、求める粘性解が得られる。その他、研究分担者により関連する研究成果が得られた。

Differential equations of differential equations of completely non-linear second-order differential equations of completely nonlinear second-order differential equations The complexity of the exact process of differential equations, including differential equations, side constraints, differential inequalities (mini max problems), is deeply related to each other. This year's research is to prove the existence of viscous solutions by introducing a new concept of weak solutions to differential inequalities. A^Pv=-Σa^P_<ig>(x)V_<xixj>+Σb^P_i(x)Vxi+C^P(x)V,P=1,2,…,m U ^&lt;P +1&gt;-k $&gt; U ^P $&gt; U ^&lt;P +1&gt;+K,A ^PU^P=f^P (if U^&lt;P+1&gt;-k &lt;U^P&lt;U^&lt;P +1&gt;+K),A^PU^P $&gt; f^P(if U^P=U^&lt;P +1&gt;+K), A ^PU^P $&gt; f ^P(if U^P=U^&lt;P +1&gt;-k)in Ω,U^P/αΩ=0,P=1,…,m,$&gt; U ^&lt;m+1&gt;= U ^1,. Approximate equation system A^PU^P_ε+β_ε (U^P_ε-U^&lt;P+1&gt;_ε-K)-β_ε (U^&lt;P+1&gt;_ε-k-U^P_ε)=f^P in Ω, for the solution U^P_ε/αΩ=0, when an evaluation of the derivative number is obtained, it is proved that "C^P(x) is very large" and the new evaluation method derived from the difference method is applicable. The limit of approximate solution is obtained. The results of the research were obtained from other research contributors.

项目成果

N.Takayama: "Holonomic Solution of Weisner's Operator" Funkcialaj Ekvacioj. 32. 323-341 (1989)

N.Takayama：“Weisner 算子的完整解”Funkcialaj Ekvacioj。

N.Nagase and M.Nisio: "Optimal controls for stochastic partial differential equations" SIAM.J.Control Optim.(1990)

N.Nagase 和 M.Nisio：“随机偏微分方程的最优控制”SIAM.J.Control Optim.(1990)