非線形楕円型方程式の全域解の研究

本研究の目的は全空間R^nで定義された2階非線形楕円型偏微分方程式の正の全域解の存在、非存在および解の漸近挙動を調べることである。先ず、従来から進めてきた研究の結果ではあるが、今年度印刷段階まで決着を見た成果としては、A generalized Pohozaev identity and its applications(N.Kawano,W.-M.Ni and S.Yotsutani)がある。ここではR^nで定義された準線形楕円型方程式div(A(|Du|)Du)+f(1×1,u)=0の球対称解についての一般化されたPohozaev type identityを導き出し、さらに、正の全域解の漸近挙動を調べることにより、先に求めたIdentityを用いて解の存在、非存在定理を確立した。現在、このIdentilyを用いてさらに深い解析の可能性を追求している。次に、柳田は、松隈の方程式と呼ばれる△u+u^P/(1+1×1^2)=0の正の全域解で有限の全質量(finite total mass)を与える解、即ち漸近的にr^<2-n>と等しくなる解の一意性定理を証明した。ここで用いられた手法は、極めて応用に富むものであり、また、この結果により、松隈の方程式の解の構造が明らかになった。最後に、川田と四ツ谷は、一般化されたラプラス方程式div(|Du|^<m-2>Du)+K(1×1)u=0の正の有界な全域解が存在するための条件がK(r)=0(r^σ)(r=∞)、σ<-mであることを示し、松隈型に相当する準線形楕円型方程式の正の全域解の存在、さらに有限の全質量を与える解、即ち漸近的にr^<(m-n)/(m-1)>と等しくなる解の存在を示し、また、無限大の全質量を与える正の全域解の存在も示すことができた。これらの結果については、日本数学会九州支部会、早稲田大学応用解析研究会等で口頭発表した。

本研究の目的は全空間R^nで定義された2階非線形楕円型偏微分方程式の正の全域解の存在、非存在および解の漸近挙動を調べることである。先ず、従来から進めてきた研究の結果ではあるが、今年度印刷段階まで決着を見た成果としては、A generalized Pohozaev identity and its applications(N.Kawano,W.-M.Ni and S.Yotsutani)がある。ここではR^nで定義された準線形楕円型方程式div(A(|Du|)Du)+f(1×1,u)=0の球対称解についての一般化されたPohozaev type identityを導き出し、さらに、正の全域解の漸近挙動を調べることにより、先に求めたIdentityを用いて解の存在、非存在定理を確立した。現在、このIdentilyを用いてさらに深い解析の可能性を追求している。次に、柳田は、松隈の方程式と呼ばれる△u+u^P/(1+1×1^2)=0の正の全域解で有限の全質量(finite total mass)を与える解、即ち漸近的にr^<2-n>と等しくなる解の一意性定理を証明した。ここで用いられた手法は、極めて応用に富むものであり、また、この結果により、松隈の方程式の解の構造が明らかになった。最後に、川田と四ツ谷は、一般化されたラプラス方程式div(|Du|^<m-2>Du)+K(1×1)u=0の正の有界な全域解が存在するための条件がK(r)=0(r^σ)(r=∞)、σ<-mであることを示し、松隈型に相当する準線形楕円型方程式の正の全域解の存在、さらに有限の全質量を与える解、即ち漸近的にr^<(m-n)/(m-1)>と等しくなる解の存在を示し、また、無限大の全質量を与える正の全域解の存在も示すことができた。これらの結果については、日本数学会九州支部会、早稲田大学応用解析研究会等で口頭発表した。