非線形楕円型偏微分方程式の全域解の構造

本研究の目的は、物理工学や生物などの現象に関する具体的な非線形偏微分方程式、例えば、天体物理などで現れる2階半線形楕円型方程式(Lane‐Emden方程式)や微分幾何に関連する平均曲率の方程式、さらに一般化されたラブラシアンを主要部に持つ方程式など2階準線形楕円型方程式の全域解(空間全体で定義される解)の存在、一意性、漸近挙動などを調べ解全体の構造を明らかにすることである。この研究テーマは代表者が中心になって一貫して進めているものである。今年度行った研究では、代表者が従来の手法で研究を進め、分担者は主として研究資料の収集等で協力した。当研究グループでは、既にn次元ユークリッド空間R^nで定義された半線形楕円型方程式:△u+(1×1)u^0=0の球対称正値全域解の構造を明らかにした。ここでは、この方程式のPohozaev identityの性質を詳しく研究することが問題解決の重要な鍵となった。今年度に行った研究によって得られた新たな結果としては、R^nで定義された2階準線形楕円型方程式:div(1Du1^<m-2>Du)+K(1×1)u^a=0の球対称正値全域解についても、上述の半線形方程式の場合と同様(パラレル)の構造を持つことが解明されたことである。具体的には、先ず1×1=rと置くことにより問題を半軸で定義された常微分方程式の初期値問題に帰着させる。このとき、正の初期値αの値によって解は様々な漸近挙動をする。そこで、先ずある条件の下で解はこの漸近的性質によって(1)有限の点に於てゼロ点を持つ解:ZS(2)ゆくり減衰する解(r^<(n-m)/(m-n)>u=∞(r→∞)):SS、(3)早く減衰する解(r^<(n-m)/(m-1)>u=const.(r→∞):FSと分類出来ることを明らかにし、さらに、全てのαに対して解がZSのみである条件、全てのαに対した解がSSのみである条件、さらにある特定の初期値βが定まりαがβより小ならば解はSS、α=βならば解はFS、αがβより大ならば解はZSという解の構造をもつ条件をそれぞれ与えられた方程式のm、qおよびK(1×1)の性質、さらに空間次元nの関係式によって与えることができた。

本研究の目的は、物理工学や生物などの現象に関する具体的な非線形偏微分方程式、例えば、天体物理などで現れる2階半線形楕円型方程式(Lane‐Emden方程式)や微分幾何に関連する平均曲率の方程式、さらに一般化されたラブラシアンを主要部に持つ方程式など2階準線形楕円型方程式の全域解(空間全体で定義される解)の存在、一意性、漸近挙動などを調べ解全体の構造を明らかにすることである。この研究テーマは代表者が中心になって一貫して進めているものである。今年度行った研究では、代表者が従来の手法で研究を進め、分担者は主として研究資料の収集等で協力した。当研究グループでは、既にn次元ユークリッド空間R^nで定義された半線形楕円型方程式:△u+(1×1)u^0=0の球対称正値全域解の構造を明らかにした。ここでは、この方程式のPohozaev identityの性質を詳しく研究することが問題解決の重要な鍵となった。今年度に行った研究によって得られた新たな結果としては、R^nで定義された2階準線形楕円型方程式:div(1Du1^<m-2>Du)+K(1×1)u^a=0の球対称正値全域解についても、上述の半線形方程式の場合と同様(パラレル)の構造を持つことが解明されたことである。具体的には、先ず1×1=rと置くことにより問題を半軸で定義された常微分方程式の初期値問題に帰着させる。このとき、正の初期値αの値によって解は様々な漸近挙動をする。そこで、先ずある条件の下で解はこの漸近的性質によって(1)有限の点に於てゼロ点を持つ解:ZS(2)ゆくり減衰する解(r^<(n-m)/(m-n)>u=∞(r→∞)):SS、(3)早く減衰する解(r^<(n-m)/(m-1)>u=const.(r→∞):FSと分類出来ることを明らかにし、さらに、全てのαに対して解がZSのみである条件、全てのαに対した解がSSのみである条件、さらにある特定の初期値βが定まりαがβより小ならば解はSS、α=βならば解はFS、αがβより大ならば解はZSという解の構造をもつ条件をそれぞれ与えられた方程式のm、qおよびK(1×1)の性質、さらに空間次元nの関係式によって与えることができた。