発展型偏微分方程式の理論的および数値的研究

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標記の研究課題について、我々の研究グル-プは今年度次のような成果を挙げた。研究代表者、山中は非線型解析学全般にわたって重要性を持っている高階連鎖律を改良することを研究し、裏面に〔1〕と記した論文を書いた。この論文で開発した新しい連鎖律を用いると、いわゆるGevrey関数についてのいろいろな重要な性質、たとえば写像の合成や逆写像をとる演算についてこの関数の族が閉じていることなど、従来行われて来た研究よりもずっと簡単に、しかも定量的に調べられる。論文〔2〕では、山中はGevrey族よりもさらに広い関数族であり、いわゆる超可微分族に〔1〕で開発した方法を応用することを試み、以前に小松彦三郎氏が得ていた有限次元空間での超可微分族における逆写像定理を無限次元の場合に拡張した。論文〔3〕では山中は小池実氏と協力して、無限次元での超可微分族の中での微分方程式の研究を計画し、その手はじめとして、そのような関数族の中での基本的な演算である写像の合成と積演算の性質を定量的に研究した。研究分担者、上坂は論文〔4〕においてpower nonlinear項をもつ、半線形波動方程式に対して大域強解の存在をEnergy法によって証明した。〔4〕においては空間次元6以下の無限を必要とするが、〔5〕においてnohlinear項をよりよい性質のものの列で近似することにより、任意次元での解の存在を示すことが出来た。研究分担者、松元は論文〔6〕において、平坦共形構造を位相幾何学的観点から多面的に研究した。