ランダム媒質の中の確率過程の研究とその応用

確率過程の粒子が運動をする状態空間(媒質)に粒子の持っているものとは独立な確率構造が入っている場合の研究を行って来た。一次元格子上のランダムウォ-クの極限として自然に出て来るものとして、一次元直線上のドリフトを伴ったブラウン運動が得られる。格子点上に分布するランダムな媒質が臨界的な場合(ランダムウォ-クとしては回帰的になっている)、これに対応する極限状態ではブラウン運動のドリフトがブラウン運動とは独立な白色雑音になっている。このドリフトを臨界的な場合に相当するランダムウォ-クで近似するとき、無限時間での挙動はこの近似ランダムウォ-クの自己相似性のオ-ダ-によって定まることを証明した。又、時間的な正規化を厳密化することで、局所的極限挙動定理を得つつある。勿論、局所的極限挙動定理においてはランダムウォ-クの正規化した極限があるクラスの確率過程に限定されている場合のみ証明が出来ている。一般の極限定理は局所的定理から導かれる特殊な形になっていることが分る。今年から始めた研究の一つに非臨界的なランダムな媒質の中での確率過程がある。拡散モデルで言えば、ドリフトに白色雑音一定数a(a>o)を持つブラウン運動の極限の研究になる。今はa>1/2の場合に、最小到達時間の無限時間の挙動を発見している。o<a<1/2については確率微分方程式の援用で、さらに詳しいことが分ることを期待している。a>1/2の場合についても、中心極限定理については未だ解決の糸口もつかめていない。重要な分野だと考えている。

確率過程の粒子が運動をする状態空間(媒質)に粒子の持っているものとは独立な確率構造が入っている場合の研究を行って来た。一次元格子上のランダムウォ-クの極限として自然に出て来るものとして、一次元直線上のドリフトを伴ったブラウン運動が得られる。格子点上に分布するランダムな媒質が臨界的な場合(ランダムウォ-クとしては回帰的になっている)、これに対応する極限状態ではブラウン運動のドリフトがブラウン運動とは独立な白色雑音になっている。このドリフトを臨界的な場合に相当するランダムウォ-クで近似するとき、無限時間での挙動はこの近似ランダムウォ-クの自己相似性のオ-ダ-によって定まることを証明した。又、時間的な正規化を厳密化することで、局所的極限挙動定理を得つつある。勿論、局所的極限挙動定理においてはランダムウォ-クの正規化した極限があるクラスの確率過程に限定されている場合のみ証明が出来ている。一般の極限定理は局所的定理から導かれる特殊な形になっていることが分る。今年から始めた研究の一つに非臨界的なランダムな媒質の中での確率過程がある。拡散モデルで言えば、ドリフトに白色雑音一定数a(a>o)を持つブラウン運動の極限の研究になる。今はa>1/2の場合に、最小到達時間の無限時間の挙動を発見している。o<a<1/2については確率微分方程式の援用で、さらに詳しいことが分ることを期待している。a>1/2の場合についても、中心極限定理については未だ解決の糸口もつかめていない。重要な分野だと考えている。