高階の帰納的関数の研究

自然数上の型2の対象のKleene次数のなす順序集合(K,【less than or equal】)の構造に関して以下のような1.(K,【less than or equal】)の部分順序集合としてどのようとなものが許されるかという問題に関して、濃度が連続体の濃度2^<κo>以下のいかなる型の順序構造も可能であるとこが比較的容易に分かる。連続体仮説を仮定するとき、このような順序構造はすべて(K,【less than or equal】)において一様に定義可能であることを示した。すなわち有限個のパラメ-タ-(実際には8個)を変化させることにより、濃度が2^<xo>以下のすべての順序構造を一つの定義式を用いて(K,【.ltireq.】)の中で表現することができ2.濃度2^<χo>の順序集合を適当にとって、実数全体のなす集合2^<χo>をその演算を含めたコ-ドすることができる。したがって、連続体仮説を仮定するとき、実数の理論は本質的に(K,【less than or equal】)の理論の中に埋め込まれる。3.連続体仮説を仮定するとき、濃度が2^<χo>以下のイデアルに対して、その完全対(exact pair)が存在する。したがって、Kの濃度2^<χo>以下の部分集合は2個の型の2の対象によりコ-ドできる。これを用いて、(V_<w+2>,【element】)の理論を(K,【less than or equal】)の理論に埋め込むことができる。この結果は本質的に連続体仮説を用いており、連続体仮説を用いない証明を見出すことは今後の研究課題である。4.K-{Φ}に極小元が存在するか否かという問題に関しては最終的な結論を得るに到らなかった。無限ゲ-ムに関するΔ^1_2-決定性公理を仮定すれば、ΦのsuperjumpΦ^′がK-{Φ}の極小元であることが示される。1方、V=Lを仮定するとき、Φ^′は極小でないことが既に知られているので、Φ^′がK-{Φ}の極小元であるという主張はZFCと独立な命題となる。しかしV=Lの仮定のもとで、K-{Φ}の極小元が存在するか否かは依然として未解決である。

自然数上の型2の対象のKleene次数のなす順序集合(K,【less than or equal】)の構造に関して以下のような1.(K,【less than or equal】)の部分順序集合としてどのようとなものが許されるかという問題に関して、濃度が連続体の濃度2^<κo>以下のいかなる型の順序構造も可能であるとこが比較的容易に分かる。連続体仮説を仮定するとき、このような順序構造はすべて(K,【less than or equal】)において一様に定義可能であることを示した。すなわち有限個のパラメ-タ-(実際には8個)を変化させることにより、濃度が2^<xo>以下のすべての順序構造を一つの定義式を用いて(K,【.ltireq.】)の中で表現することができ2.濃度2^<χo>の順序集合を適当にとって、実数全体のなす集合2^<χo>をその演算を含めたコ-ドすることができる。したがって、連続体仮説を仮定するとき、実数の理論は本質的に(K,【less than or equal】)の理論の中に埋め込まれる。3.連続体仮説を仮定するとき、濃度が2^<χo>以下のイデアルに対して、その完全対(exact pair)が存在する。したがって、Kの濃度2^<χo>以下の部分集合は2個の型の2の対象によりコ-ドできる。これを用いて、(V_<w+2>,【element】)の理論を(K,【less than or equal】)の理論に埋め込むことができる。この結果は本質的に連続体仮説を用いており、連続体仮説を用いない証明を見出すことは今後の研究課題である。4.K-{Φ}に極小元が存在するか否かという問題に関しては最終的な結論を得るに到らなかった。無限ゲ-ムに関するΔ^1_2-決定性公理を仮定すれば、ΦのsuperjumpΦ^′がK-{Φ}の極小元であることが示される。1方、V=Lを仮定するとき、Φ^′は極小でないことが既に知られているので、Φ^′がK-{Φ}の極小元であるという主張はZFCと独立な命題となる。しかしV=Lの仮定のもとで、K-{Φ}の極小元が存在するか否かは依然として未解決である。