ホワイトノイズ解析と確率場

点击翻译按钮获取中文摘要

計画通り次の2項目について研究を行った。1.ホワイトノイズの超汎関数の解析確率過程の中で最も基本的なものの1つであるホワイトノイズを基礎にして、その非線型汎関数の解析を行うため、準備として数学の種々の分野の手法を用いてアプロ-チを試みた。本年度の研究において最も有効と思われたものは無限次元回転群により調和解析の方法であった。ホワイトノイズの測度分回転不変であるため、この回転群を基にする立場から、自然に超汎関数を導入する新しい方法が見出された。また、有限次元の場合にならって、ラプラス作用素を導くことができるか、その特徴づけを行うことができた。無限次元であるため、いくつかのラプラス作用素が考えられるが、確率論的に興味のある2種類について、応用も含め比較的詳しい性質が知られた。2.ガウス型確率場一般論は今後の問題として、多次元パラメ-タ-のホワイトノイズの線型汎関数として表され、多次元多様体を変数とするガウス型確率場扱った。ホワイトノイズ解析で知られる積分表現を用いて、テスト関数の線型汎関数としてこの確率場を表わし、通常の関数解析の手法によって解析をすすめた。著しい結果は、変数が球面の場合で、無限次元回転群を用いてこの場の変換を行い、特に2次元のときには、具体的な記述が可能となり、与えられた場の従属性を論ずることができた。さらに1と関連して、理論物理学へのいくつかの応用を見出すたとができた。それらはiファインマン積分、iiディリクレ形式、iiip(Φ)ユ-クリッド場である。iについては我々の立場から新しい定式化を、iiについては無限次元の特性を活かした展開を行った。iiiについては高次元の場合が今後の問題として残されている。