微分方程式の数値解析

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本研究は常微分方程式の近似解の誤差解析についての研究である。近年の計算機の目覚しい発達により広範にわたりコンピュ-タが利用されている。科学、技術研究の分野においても広く近似解法が利用されているが、近似解では解の誤差解析が重要である。また効率のより近似解法も重視されている。本研究ではこのような要求に応えて、誤差解析の研究と近似解法の開発に取組んできた。まず誤差解析について述べると、数値解の安定性の問題が重要である。安定性をごく簡単に説明すると、数値計算の中でひとたび生じた誤差は増大することも消滅することも有うる。計算の中で生じた誤差が伝藩していくとき、たかだか有界の範囲に誤差がとどまるときに数値的に安定であると言う。誤差解析の研究は従来は複素解析的な立場から議論されてきた(A-安定性について)。我々の研究はW-変換の理論を用いて代数的立場からこの問題と取組んできた。また近似式の安定性の研究を通して新しい近似式の開発をしてきた。微分方程式の近似式として、ルンゲ・クッタ式が最とも広く利用されているが、高い精度を必要とすると多くの計算の手間を必要とするという欠点がある。このような欠点を補うためにいろいろな近似式が提案されてきたが、計算の手間という立場から見ると改良されているが、誤差解析の立場から考えると多くの問題点を含んでいる。本研究では、このような点も考慮に入れながら近似式の開発を行ってきた。研究は途中の段階であるが、大きな成果を得た。この研究の一部は今年6月にウィ-ンで開かれる国際会議で発表予定である。