数学基礎論とブ-ル代数値解析学

この研究では、数学的構造とそれを表現している言語などの形式的体系について、意味構造と形式的表現の両者にかかわる性質を中心に研究を進めてきた。具体的には、公理的集合論や帰納的関数論そして数理論理学ですでにある程度満足のゆく形まで理路が整理されている結果を、さらに広い範囲の代数や解析的な対象に値を持つような体系に応用しようとするものである。これには、例えばブ-ル代数を値に持つ集合論の中で、通常の代数や解析の結果が何を意味しているか。こういった概念に関係して、古典的にはっきりと意味のある位相空間とか、群の部分群のなす順序から自然に定まる位相、さらに一般の推移関係から生ずる順序などについての結果が得られた。こういった結果や対象の中には、例えば位相空間の完備化とかコンパクト化の中の点としての、双対空間の元などがある。双対空間の点は、ひとことで言えばフィルタ-とかイディアル、あるいは何個かの算法で閉じた系ないしは集合であり、もとの空間の連続関数はその完備化の点まで自動的に延長できる。勿論、値のとるべき空間の完備化においての意味である。超準解析などでは、いわゆるコンパクト性定理というモデルの理論の定理が用いられるが、これらは離散的または完全不連結といった空間の完備化と関数の延長としてとらえられる。また、非常に大きな有限の数の性質など、関数の増大の度合いと、計算量やアルゴリズムの複雑性、さらには特定の性質の集まりでの識別不可能性の問題など計算の理論の中心的な課題について引き続き研究を続けてゆきたいと思う。

この研究では、数学的構造とそれを表現している言語などの形式的体系について、意味構造と形式的表現の両者にかかわる性質を中心に研究を進めてきた。具体的には、公理的集合論や帰納的関数論そして数理論理学ですでにある程度満足のゆく形まで理路が整理されている結果を、さらに広い範囲の代数や解析的な対象に値を持つような体系に応用しようとするものである。これには、例えばブ-ル代数を値に持つ集合論の中で、通常の代数や解析の結果が何を意味しているか。こういった概念に関係して、古典的にはっきりと意味のある位相空間とか、群の部分群のなす順序から自然に定まる位相、さらに一般の推移関係から生ずる順序などについての結果が得られた。こういった結果や対象の中には、例えば位相空間の完備化とかコンパクト化の中の点としての、双対空間の元などがある。双対空間の点は、ひとことで言えばフィルタ-とかイディアル、あるいは何個かの算法で閉じた系ないしは集合であり、もとの空間の連続関数はその完備化の点まで自動的に延長できる。勿論、値のとるべき空間の完備化においての意味である。超準解析などでは、いわゆるコンパクト性定理というモデルの理論の定理が用いられるが、これらは離散的または完全不連結といった空間の完備化と関数の延長としてとらえられる。また、非常に大きな有限の数の性質など、関数の増大の度合いと、計算量やアルゴリズムの複雑性、さらには特定の性質の集まりでの識別不可能性の問題など計算の理論の中心的な課題について引き続き研究を続けてゆきたいと思う。