数学と離散的対象の研究

1.ブール代数およびハイティング代数を値に持つ集合論に於て、数学を展開することは可能でそれを再び数学の対象として研究し、多くの具体的成果を得ている。この研究では、上記のものが位相空間の開集合や正則開集合、トポスなどに対応しているのに対して、線形空間の連続な作用素の空間など含むより一般の体系を研究対象としている。この体系の上の公理、推論法則、証明可能性、完全性定理、決定可能性等の概念は、極大可換集合、ユニタリー表現などの数学的結果と関連しており、論理学での式として何が考えられるべきか、特にヒルベルト空間上で展開される量子論理と関連した離散的対象の研究は特に重要な研究目標である。本研究で得られている成果の中にも多くの連続的変形とそれに供う離散的対象に関するものが含まれている。2.有限体上の微分方程式と有限射影空間での楕円曲線の構造の研究が着実に進んでいる。特に楕円曲線から定まるアーベル群の位数:これは複素数体では楕円関数の周期に相当するものであるが,これに関する具体的結果を得ている。例えばワイヤストラスの標準形y^2=X^3+kから定まる有限群の位数に関する結果から、素数がp=3n^2+3n+1の形をしているとき、その素数を因数として含む合成数から、その因数pを計算する確率的な多項式時間アルゴリズムの存在が示された。これと異なる系列の素数の発見は今後の大きな課題である。素因数分解と素数判定の計算量的複雑さの研究はP=NP問題などとも関連して現在最もホットな研究課題である。また、有限体上の楕円曲線から定まるアーベル群の位数の系列から,有理成分巡回直交行列の新しい系列を得ることができた。この理論の通信や位置の同定等への応用は将来の課題である。

1.ブール代数およびハイティング代数を値に持つ集合論に於て、数学を展開することは可能でそれを再び数学の対象として研究し、多くの具体的成果を得ている。この研究では、上記のものが位相空間の開集合や正則開集合、トポスなどに対応しているのに対して、線形空間の連続な作用素の空間など含むより一般の体系を研究対象としている。この体系の上の公理、推論法則、証明可能性、完全性定理、決定可能性等の概念は、極大可換集合、ユニタリー表現などの数学的結果と関連しており、論理学での式として何が考えられるべきか、特にヒルベルト空間上で展開される量子論理と関連した離散的対象の研究は特に重要な研究目標である。本研究で得られている成果の中にも多くの連続的変形とそれに供う離散的対象に関するものが含まれている。2.有限体上の微分方程式と有限射影空間での楕円曲線の構造の研究が着実に進んでいる。特に楕円曲線から定まるアーベル群の位数:これは複素数体では楕円関数の周期に相当するものであるが,これに関する具体的結果を得ている。例えばワイヤストラスの標準形y^2=X^3+kから定まる有限群の位数に関する結果から、素数がp=3n^2+3n+1の形をしているとき、その素数を因数として含む合成数から、その因数pを計算する確率的な多項式時間アルゴリズムの存在が示された。これと異なる系列の素数の発見は今後の大きな課題である。素因数分解と素数判定の計算量的複雑さの研究はP=NP問題などとも関連して現在最もホットな研究課題である。また、有限体上の楕円曲線から定まるアーベル群の位数の系列から,有理成分巡回直交行列の新しい系列を得ることができた。この理論の通信や位置の同定等への応用は将来の課題である。