反応拡散系の解のダイナミクスの数理的数値的研究

1.空間1次元2種競争系について。(1)拡散を伴う古典的なロトカ-ボルテラ型の非線型モデルで記述される2種競争系に対して、進行波解の存在を特異摂動法によって示すことができた。そこでは3つの異なるタイプの内部層が現われる。すなわち、微小パラメ-タを0とした極限での解(外部解)が、(i)第1種不連続性を持つ場合(内部遷移層)、(ii)1階導関数が第1種不連続性をもつ場合(内部角遷移層)、(iii)内部遷移層と内部角遷移層が同時に現われる場合である。これらいずれの場合にも接合漸近展開法が有効であり、解の漸近展開が得られている。これは進行波解の安定性を議論する場合の基礎となる。一方の種が拡散を伴なわない場合についても、Wazewskiの定理により、幾何学的手法を用いて進行波解の存在が証明できた。ここで考察した進行波解は後で述べる双安定系とは異って、進行波の速度は一意に決まらず、ある最小速度が存在して、それより大きな任意の速度をもつ進行波解が存在することが特徴である。(2)移流を伴うロトカ-ボルテラ型2種競争系について、進行波解のC^°の意味での安定性を証明した。さらに、進行波解を利用して双曲型比較定理により、初期値問題の解の漸近挙動を、かなり広いクラスの初期値に対して議論することができた。2.2成分双安定反応拡散方程式系について。空間一次元2成分系に対して、特異極限法により、進行波解の安定性が示され、また進行波解を特異極限分岐理論の立場からその存在と安定性を明らかにすることができた。そこでは、解の特異摂動法による構成が安定性の議論に必要な解析的情報をすでに多く含んでいることを利用している。それ故に、特異極限法が特異摂動問題での固有値問題を解析する強力な手法となることが明らかとなった。

1.空間1次元2種競争系について。(1)拡散を伴う古典的なロトカ-ボルテラ型の非線型モデルで記述される2種競争系に対して、進行波解の存在を特異摂動法によって示すことができた。そこでは3つの異なるタイプの内部層が現われる。すなわち、微小パラメ-タを0とした極限での解(外部解)が、(i)第1種不連続性を持つ場合(内部遷移層)、(ii)1階導関数が第1種不連続性をもつ場合(内部角遷移層)、(iii)内部遷移層と内部角遷移層が同時に現われる場合である。これらいずれの場合にも接合漸近展開法が有効であり、解の漸近展開が得られている。これは進行波解の安定性を議論する場合の基礎となる。一方の種が拡散を伴なわない場合についても、Wazewskiの定理により、幾何学的手法を用いて進行波解の存在が証明できた。ここで考察した進行波解は後で述べる双安定系とは異って、進行波の速度は一意に決まらず、ある最小速度が存在して、それより大きな任意の速度をもつ進行波解が存在することが特徴である。(2)移流を伴うロトカ-ボルテラ型2種競争系について、進行波解のC^°の意味での安定性を証明した。さらに、進行波解を利用して双曲型比較定理により、初期値問題の解の漸近挙動を、かなり広いクラスの初期値に対して議論することができた。2.2成分双安定反応拡散方程式系について。空間一次元2成分系に対して、特異極限法により、進行波解の安定性が示され、また進行波解を特異極限分岐理論の立場からその存在と安定性を明らかにすることができた。そこでは、解の特異摂動法による構成が安定性の議論に必要な解析的情報をすでに多く含んでいることを利用している。それ故に、特異極限法が特異摂動問題での固有値問題を解析する強力な手法となることが明らかとなった。