位相空間論の解析学的手法による研究

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ここ数年の間、位相空間の研究の解析学における概念や知識をもちこむことによってより広く又具体的に研究分野の拡大・充実をはかれるのではと思い、その手がかりをさがしてきた。これら2つの分野を結びつけるものとして関数空間の研究がある。この場合、関数空間に与える位相として、位相空間論としては点収束位相が扱い易く、地方解析学としては一様収束位相が有用である等その取り扱いの面で共通しないところが多かった。ここでは、関数空間にコムパクト開位相を与えることにより上記両分野における共通面をもたせ、できるだけ関連する様な立場で研究を進めてきた、その結果、この1年でようやく具体的にまとめることができた。その内容はコムパクト開位相をもつ関数空間上の連続線形写像全体は一様収束位相をもつ関数空間上の連続線形写像全体に一様収束位相を入れたバナッハ空間の部分空間として実現できるということである。バナッハ空間は解析学とくに位相解析学において非常に重要な空間であり、位相空間論的コムパクト開位相をもつ関数空間と関連して得られた上記結果は興味あり又有意義なものと思われる。更にこれに関連して、バナッハ空間の中でどの様な状態で実現されているかによりもとの空間の位相的性質が調べられることもわかった。例えば、バナッハ空間の中で閉集合として実現できるならば、もとの空間はコムパクト空間となる必要はないが擬コムパクト空間でなければならないなどがあげられる。これ迄得られた成果に伴いこれから解決すべきいろいろの問題が提起された。バナッハ空間の中で稠密な部分空間として実現されるとき、もとの空間がどの様な空間であるかなどは興味深い問題と思われる。同時にこれからの解決には測度論や束論とも関係が生じる様に思われる。この様な観点から来年度も未解決の問題の研究を続ける予定である。