軌道体とその位相的ホワイトヘッド群の研究

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軌道体の間の写像について研究した。軌道体は局所群の型による層構造を持つが、我々は余次元1の層を持たない軌道体のみを扱う。軌道体は必ず(軌道体の意味での)普遍被覆を持つが、二つの軌道体の間の一般の連続写像f:X→Yは必ずしも普遍被覆の間の連続写像に持ち上がるとは限らない。しかし、fがXの余次元0の層をYの余次元0の層にうつすと仮定すると、持ち上げが存在するための必要十分条件を基本群のことばで書くことができる。それをみたすとき、fは順であるということにする。fが順であるならば、その持ち上げは、普遍被覆の間のφー同変な写像となる。ただし、φはfによりひきおこされる基本群の間の準同型写像である。順な写像、またその特別な場合であるOR写像(竹内氏により定義された)に関して、種々な性質を証明することができた。以下に主なものを列記する。1.X、Yが共にThurstonの意味で「良い」軌道体で、順な写像が基本群の間の単射を引きおこすならば、fは局所群の単射を引きおこす。従ってfは特異点を特異点にうつす。2.上で特にfがORー写像ならば、対応する局所群は互いに同型である。3.XとYがORーホモトピー同値な軌道体であるとき、Xが良いこととYが良いことは必要十分である。4.閉2次元軌道体の間の順ホモトピー同値は順同相写像にホモトピックである。特にORーホモトピー同値は、同型写像にホモトピックとなる。今後の課題は上の4の結果を高次元に拡張することであるが、そのためには、軌道体の単純ホモトピー理論、および軌道体の手術理論を確立しなければならない。順な写像は同変写像との関係が深いので、同変理論と比較しながら研究をすすめてゆきたい。