複素領域における代数的微分方程式の研究

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Ajk(j=0,1,…,n;k=0,1,…,q_j)を共通零点のない整関数としQ_j(z,ω)=Σ^^<q_j>__<k=0>a_<jk>ω^k(a_<nqn>・a_<0q0>≠0,q_j=dogQ_j)とおいて、1Z1<∞での有理形関数体上既約な代数的微分方程式(1)Q_n(2,ω)(ω′)^n+Q_<n-1>(2,ω)(ω′)^<n-1>+…+Q_0(2,ω)=0の複素平面での代数型関数解ω=ω(z)を条件q_n+n>q_j+j(j=1,…,n-1)のもとで考え、次の様な結果を得た定理1、I)q_0≦q_n+nのとき、ωの極はa_<nqn>の零点の集合に含まれる。II)q_0<q_n+nのとき、N(γ、ω)≦KN(γ1/a_<nqn>)定理2、q_0<q_n+nでa_<nqn>が多項式のときmin(n,q_ntn-q_0)log^+M(γ、ω)≦KΣ__<j,k>log^+M(γ、ω)+O(log、γ)(γ¢E)ここに、EC〓o、∞)でm(E)<∞。定理3、a_<jk>が全て多項式でq_0<q_n+nのとき、ω=ω(z)は代数関数系、a_<jk>が全て多項式でq_n=0かつq_j+j≦n-1(J=0,1,…,n-1)ならば(1)の有理形関数解は有理関数。今後は、a_<jk>に対する条件を弱めると定理2、3がどのようになるかということおよび代数型関数解ω=ω(z)の値分布論的性質と方程式(1)の形の関係などについて研究を発展させたい。